Calcule as integrais abaixo fixando o ramo da função raizz^2+4 pela condição raiz4=-2 e tomando para C o quadrado de vértices pm 1 pm i.
ointC raizz^2+44 z^2-4 i z-1 d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointC raizz^2+44z^2-4iz-1,dz
onde C é o quadrado de vértices pm1pm i, usando o ramo de raizz^2+4 tal que raiz4=-2.
Conteúdo: aplicar o Teorema dos Resíduos a uma função meromorfa (com polo de ordem 2) dentro de C.

Passo 2

Encontrar as singularidades da parte racional. Resolve-se
4z^2-4iz-1=0 ;Longrightarrow; z^2-iz-tfrac14=0
o que tem discriminante zero. Há uma raiz dupla
z0=i2
que está dentro de C. Logo f(z) tem um polo de ordem 2 em z0.

Passo 3

Para um polo duplo em , a fórmula do resíduo é
Definimos

Passo 4

Calcular a derivada de :
Portanto

Passo 5

Avalia-se em :
e, pelo ramo escolhido (contínuo e com ),
Logo

Passo 6

Pelo Teorema dos Resíduos,

Resposta

pi2raiz15

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