Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de . Quando ele está a 17 m acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de passa por baixo dele. A que taxa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará depois?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos um balão que está subindo verticalmente a uma velocidade constante de . Quando o balão está a 17 metros acima do solo, uma bicicleta que está se movendo a uma velocidade constante de passa exatamente por debaixo dele. Queremos descobrir a que taxa a distância entre a bicicleta e o balão está aumentando 3 segundos depois desse momento.
Aqui, estamos lidando com taxas relacionadas, que é um tópico de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos em movimento e aplicar derivadas para encontrar a taxa de variação dessa distância.
Passo 2
Vamos começar definindo as variáveis:
: tempo em segundos após o momento em que a bicicleta passa por baixo do balão.
: altura do balão acima do solo em metros no tempo .
: distância percorrida pela bicicleta em metros no tempo .
: distância entre a bicicleta e o balão no tempo .
Sabemos que o balão está subindo a , então:
A bicicleta está se movendo a , então:
Passo 3
A distância entre o balão e a bicicleta, , forma um triângulo retângulo, onde é a altura e é a base. Podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar essas distâncias:
Substituindo e :
Passo 4
Queremos encontrar a taxa na qual está aumentando no tempo segundos, ou seja, quando .
Primeiro, vamos derivar em relação a . Usaremos a regra da cadeia para derivar a expressão de :
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos substituir as expressões conhecidas:
Sabemos que:
E no tempo segundos:
Calculamos :
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da derivada:
Calculando o numerador:
Então:
Resposta
A taxa na qual a distância entre a bicicleta e o balão está aumentando 3 segundos depois é aproximadamente .