S-3.40
(a) Mostre que em geral
divide
, para todo
e para todo
primo
.
(b) Verifique que se
não divide
, com
nas condições de (a), então
divide
, para todo
.
(c) Ache o resto da divisão por 7 do número
.
(d) Mostre que se
e
são primos com 7 , então
é múltiplo de 7 . Em particular,
é múltiplo de 7 .
(b) Verifique que se
(c) Ache o resto da divisão por 7 do número
(d) Mostre que se
Passo 1
No enunciado temos: (a) mostrar que, para todo primo
e todo
, vale
(b) provar que, se
, então
(c) calcular o resto de
na divisão por 7;
(d) mostrar que, se , então
, em particular para
,
.
Vamos usar o Teorema do Binômio (coeficientes são múltiplos de
quando
) e o Pequeno Teorema de Fermat.
(d) mostrar que, se
Vamos usar o Teorema do Binômio (coeficientes
Passo 2
Para (a), como
é primo, todo coeficiente
com
é múltiplo de
. Pelo Teorema do Binômio,
Reduzindo módulo
, todos os termos
(com
) desaparecem, ficando
Uma indução em
mostra então que
isto é
.
Para (b), se
podemos “cancelar”
na congruência
, obtendo
ou seja
.
Passo 3
Em (c) queremos o resto de
quando dividido por 7. Pelas conclusões acima, sempre que
vale
, e para
vale
. Entre 1 e 15 há exatamente 2 múltiplos de 7 (
) e 13 inteiros não múltiplos. Logo
Passo 4
Em (d), se
então, pelo item (b),
Subtraindo,
ou seja
. No caso particular
,
, segue imediatamente que
.
Resposta
(a) e (b) seguem do Teorema do Binômio e do Pequeno Teorema de Fermat.
(c) O resto de por 7 é
.
(d) Foi mostrado que sempre que
; em particular
.
(c) O resto de
(d) Foi mostrado que