Questâo Extra) O limite
lim (x, y) 0,0) x raizy+xx^2+y^2
existe? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede pra ver se existe o limite lim(x,y)to(0,0)xraizy+xx^2+y^2Isso é um problema de limite de função de duas variáveis, e vamos usar o teste de diferentes caminhos de aproximação, lembrando que raizy+x exige y+x>=0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar caminhos lineares do tipo y=kx com k>-1 (assim y+x=x(1+k)>=0 quando x>0). Substituindo: xraizy+xx^2+y^2=xraizx(1+k)x^2(1+k^2)=x^3/2raiz1+kx^2(1+k^2)=raiz1+k1+k^2,x^-1/2Como x^-1/2to+infty quando xto0^+, esse caminho dá +infty.

Passo 3

Agora escolhemos um caminho curvo para tentar outro valor. Pegamos y=-x+x^2, que satisfaz y+x=x^2>=0. Substituindo: xraizy+xx^2+y^2=xraizx^2x^2+(-x+x^2)^2=x,|x|x^2+x^2(1-x)^2Para xto0^+ tem |x|=x, então x^2x^2[1+(1-x)^2]=12-2x+x^2to12

Passo 4

Como em um caminho o limite é +infty e em outro é 1/2, não há valor único.

Resposta

O limite não existe.

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