Demonstre que dd x(cotg x)=-cossec^2 x.
20. Demonstre, pela definição de derivada, que se f(x)=cos x, então f^prime(x)=-sen x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Demonstrar pela regra do quociente que
ddxl(cotg xr) = -csc^2 x
  1. Demonstrar pela definição de derivada que, para f(x)=cos x,
f'(x) = -sen x
Vamos usar identidade trigonométrica, regra do quociente e a definição de derivada (limite do coeficiente de diferença).

Passo 2

Começamos por f(x)=cos x e aplicamos a definição
f'(x) = limhto0cos(x+h)-cos xh

Passo 3

Usamos a identidade de soma para cossenos em bloco:
cos(x+h)-cos x = -2,sinl(x+tfrach2r),sinl(tfrach2r)
Logo
cos(x+h)-cos xh = -2,sinl(x+tfrach2r),sinl(tfrach2r)h

Passo 4

Reescrevemos sin(h/2)h = sin(h/2)h/2cdot12. Ao levar hto0 vale
limhto0sin(h/2)h/2=1, limhto0sinl(x+tfrach2r)=sin x
Logo
f'(x) = -2;sin x;12 = -sin x

Passo 5

Agora cotg x = cos xsen x. Pela regra do quociente, se u=cos x e v=sen x, então
ddx(cotg x) = u'v - uv'v^2 = (-sen x),sen x - cos x,cos xsen^2 x

Passo 6

No numerador aparece
-,sen^2 x - cos^2 x = -(sen^2 x+cos^2 x) = -1,
pela identidade pitagórica. Assim
ddx(cotg x) = -1sen^2 x = -csc^2 x

Resposta

A derivada de f(x)=cos x é
f'(x) = -sen x,
e a derivada de cotg x é
ddx(cotg x) = -csc^2 x

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