Demonstre que
.
20. Demonstre, pela definição de derivada, que se
, então
.
20. Demonstre, pela definição de derivada, que se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Demonstrar pela regra do quociente que
- Demonstrar pela definição de derivada que, para
,
Vamos usar identidade trigonométrica, regra do quociente e a definição de derivada (limite do coeficiente de diferença).
Passo 2
Começamos por
e aplicamos a definição
Passo 3
Usamos a identidade de soma para cossenos em bloco:
Logo
Passo 4
Reescrevemos
. Ao levar
vale
Logo
Passo 5
Agora
. Pela regra do quociente, se
e
, então
Passo 6
No numerador aparece
pela identidade pitagórica. Assim
Resposta
A derivada de
é
e a derivada de
é