Responda:
(a) Definir funçāa continua em um ponto (x0, y0) in R^2.
(b) Determinar o valor de L para que a função a seguir seja contínua na origem
f(x, y)= y^310 x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) L, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Estamos lidando com continuidade de funções de duas variáveis em ,mathbb{R}^2 e, em seguida, queremos achar L de modo que f seja contínua na origem.

Passo 2

Uma função f:,mathbb{R}^2\to,\mathbb{R} é contínua em um ponto (x0,y0) se, dados varepsilon>0, existe de<a>0 tal que sempre que raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2<de<a vale

Passo 3

Para determinar L precisamos calcular lim(x,y)to(0,0)y^310x^2+y^2. Se esse limite existir e for igual a L, então escolhendo f(0,0)=L garantimos continuidade.

Passo 4

Observe que para (x,y)neq(0,0) temos

Passo 5

Passo 6

\left|\frac{y3}{10x2+y^2}\right| = \frac{|y|3}{10x2+y^2} \le \frac{|y|3}{y2} = |y|

Passo 7

]

Passo 8

Além disso, se raizx^2+y^2<de<a então |y|<=raizx^2+y^2<de<a. Logo

Passo 9

Passo 10

\left|\frac{y3}{10x2+y^2}\right| < \delta

Passo 11

]

Passo 12

Isso mostra que o limite é zero. Portanto, para ter continuidade em (0,0) devemos definir L=0.

Resposta

(a) Uma função f é contínua em (x0,y0) se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que sempre que raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2<de<a temos

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