Calcule
\mathscr{L}{f(t)}), ou
\mathscr{L}^{-1}{F(s)}), conforme seja o caso:
(d) Calcule
\mathscr{L}^{-1}(F)
, se
F(s)=\frac{1-2 s}{s^{2}+4 s+5}
.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1-2s}{s^{2}+4s+5}.
O conteúdo principal é reconhecer padrões de \mathscr{L}^{-1} do tipo \tfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}} e \tfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}},
para depois usar o deslocamento s\mapsto s+2.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no denominador:
s^{2}+4s+5 = (s+2)^{2}+1.
Logo podemos reescrever
F(s)=\frac{1-2s}{(s+2)^{2}+1}.

Passo 3

Queremos expressar o numerador 1-2s na forma A(s+2)+B.
Isto é, buscamos A e B tais que
1-2s = A(s+2)+B = A\,s + 2A + B.
Comparando coeficientes de s e termos constantes:
- Coeficiente de s: A = -2.
- Termo constante: 2A + B = 1 \implies 2(-2) + B =1 \implies B=5.

Passo 4

Substituindo A=-2 e B=5 em F(s), obtemos
F(s) = \frac{-2\,(s+2) + 5}{(s+2)^{2}+1} = -2\,\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1} +5\,\frac{1}{(s+2)^{2}+1}.

Passo 5

Usamos as fórmulas-padrão:
\mathscr{L}^{-1}\!\biggl[\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\biggr] = e^{a t}\cos(bt), \quad \mathscr{L}^{-1}\!\biggl[\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\biggr] = e^{a t}\sin(bt).
Aqui a=-2 e b=1. Logo
\mathscr{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}\Bigr] = e^{-2t}\cos t, \quad \mathscr{L}^{-1}\!\Bigl[\frac{1}{(s+2)^{2}+1}\Bigr] = e^{-2t}\sin t.

Passo 6

Aplicando linearidade, a transformada inversa de cada parcela é
-2\,e^{-2t}\cos t \quad\text{e}\quad 5\,e^{-2t}\sin t,
portanto a solução final é a soma dessas duas.

Resposta

f(t) = -2\,e^{-2t}\cos t \;+\;5\,e^{-2t}\sin t.

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