Exercício 1. (4,0 Pontos) Considere a funçāo
.
(a) Calcule a derivada de
;
(b) Determine uma equaçāo para a reta tangente ao gráfico de
no ponto
;
(c) Determine os pontos críticos;
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) Determine os valores maximos e mínimos locais de
, caso existam;
(f) Determine os valores máximo e mínimo de
no intervalo
,
(a) Calcule a derivada de
(b) Determine uma equaçāo para a reta tangente ao gráfico de
(c) Determine os pontos críticos;
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) Determine os valores maximos e mínimos locais de
(f) Determine os valores máximo e mínimo de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) a derivada, (b) a reta tangente em
, (c) pontos críticos, (d) intervalos de crescimento e decrescimento, (e) extremos locais, (f) extremos no intervalo
. Para isso usaremos a regra da potência para derivar, a fórmula da reta tangente
o teste da primeira derivada para extremos locais e a comparação de valores em pontos críticos e extremos do domínio fechado.
Passo 2
Derivando termo a termo pela regra da potência, obtemos
Fatorando,
Passo 3
Para a reta tangente em
calculamos
Usando
e lembrando que
, segue
Passo 4
Os pontos críticos são as soluções de
, ou seja
Passo 5
Analisamos o sinal de
:
- Para
, todos os fatores são positivos exceto , mas como há dois fatores negativos em e , o produto é positivo. - Para
, e , então . - Para
, todos os fatores são positivos, então .
Logoé crescente em e decrescente em .
Passo 6
Pelo teste da primeira derivada:
- Em
, vai de positivo para negativo, então há máximo local. - Em
, vai de negativo para positivo, então há mínimo local.
Calculando
Passo 7
No intervalo fechado
avaliamos
em
:
Comparando, o valor mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Resposta
(a)
(b)
(c) e
(d) crescente em , decrescente em
(e) máximo local em com
; mínimo local em
com
.
(f) no intervalo , mínimo global
em
, máximo global
em
.
(b)
(c)
(d) crescente em
(e) máximo local em
(f) no intervalo