Exercício 1. (4,0 Pontos) Considere a funçāo f(x)=2 x^{3}-15 x^{2}+24 x+7.
(a) Calcule a derivada de f(x);
(b) Determine uma equaçāo para a reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (2,11);
(c) Determine os pontos críticos;
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) Determine os valores maximos e mínimos locais de f(x), caso existam;
(f) Determine os valores máximo e mínimo de f(x) no intervalo [0,6],

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^{3}-15x^{2}+24x+7
e pede: (a) a derivada, (b) a reta tangente em (2,11), (c) pontos críticos, (d) intervalos de crescimento e decrescimento, (e) extremos locais, (f) extremos no intervalo [0,6]. Para isso usaremos a regra da potência para derivar, a fórmula da reta tangente
y - f(a) = f'(a)\,(x - a),
o teste da primeira derivada para extremos locais e a comparação de valores em pontos críticos e extremos do domínio fechado.

Passo 2

Derivando termo a termo pela regra da potência, obtemos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(15x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(24x\bigr)+\frac{d}{dx}(7) =6x^{2}-30x+24.
Fatorando,
f'(x)=6\,(x^{2}-5x+4)=6\,(x-1)\,(x-4).

Passo 3

Para a reta tangente em (2,11) calculamos
m=f'(2)=6\,(2-1)\,(2-4)=6\cdot1\cdot(-2)=-12.
Usando
y - f(2)=m\,(x-2),
e lembrando que f(2)=11, segue
y-11=-12(x-2) \quad\Longrightarrow\quad y=-12x+24+11 \quad\Longrightarrow\quad y=-12x+35.

Passo 4

Os pontos críticos são as soluções de f'(x)=0, ou seja
6\,(x-1)\,(x-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1\quad\text{ou}\quad x=4.

Passo 5

Analisamos o sinal de f'(x)=6(x-1)(x-4):
  • Para x<1, todos os fatores são positivos exceto (x-4), mas como há dois fatores negativos em (x-1)<0 e (x-4)<0, o produto é positivo.
  • Para 1<x<4, (x-1)>0 e (x-4)<0, então f'<0.
  • Para x>4, todos os fatores são positivos, então f'>0.
    Logo f é crescente em (-\infty,1)\cup(4,\infty) e decrescente em (1,4).

Passo 6

Pelo teste da primeira derivada:
  • Em x=1, f' vai de positivo para negativo, então há máximo local.
  • Em x=4, f' vai de negativo para positivo, então há mínimo local.
    Calculando
f(1)=2-15+24+7=18, \qquad f(4)=2\cdot64-15\cdot16+96+7=-9.

Passo 7

No intervalo fechado [0,6] avaliamos f em x=0,1,4,6:
f(0)=7, \quad f(1)=18, \quad f(4)=-9, \quad f(6)=2\cdot216-15\cdot36+144+7=43.
Comparando, o valor mínimo é -9 em x=4 e o máximo é 43 em x=6.

Resposta

(a) \;f'(x)=6x^{2}-30x+24=6(x-1)(x-4).
(b) \;y=-12x+35.
(c) \;x=1 e x=4.
(d) crescente em (-\infty,1)\cup(4,\infty), decrescente em (1,4).
(e) máximo local em x=1 com f(1)=18; mínimo local em x=4 com f(4)=-9.
(f) no intervalo [0,6], mínimo global -9 em x=4, máximo global 43 em x=6.

Exercícios relacionados