Faça o que é pedido em cada item:
(a) (10 pontos) Encontre \left.\mathcal{L}\left\{\frac{5}{6} t^{5}+8 e^{4 t} \sin (2 t)-2 e^{-2 t} \cos (3 t)+4 \delta(t-5)+2 u_{5}(t) \cos (4(t-5))\right\}\right\}\

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=\frac{5}{6}t^{5}+8e^{4t}\sin(2t)-2e^{-2t}\cos(3t)+4\delta(t-5)+2u_{5}(t)\cos\bigl(4(t-5)\bigr).
Vamos usar as propriedades:
  1. Linearidade: \mathcal{L}\{a\,f(t)+b\,g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  2. \displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
  3. \displaystyle \mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \displaystyle \mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
  4. \displaystyle \mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-as}.
  5. Para a função deslocada u_{a}(t)g(t-a): \mathcal{L}\{u_{a}(t)g(t-a)\}=e^{-as}G(s), onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}.

Passo 2

Transformada de \frac{5}{6}t^{5}.
Como \mathcal{L}\{t^{5}\}=\frac{5!}{s^{6}}=\frac{120}{s^{6}}, temos
\mathcal{L}\Bigl\{\tfrac{5}{6}t^{5}\Bigr\} =\tfrac{5}{6}\,\frac{120}{s^{6}} =\frac{100}{s^{6}}.

Passo 3

Transformada de 8e^{4t}\sin(2t).
Usando \mathcal{L}\{e^{4t}\sin(2t)\}=\frac{2}{(s-4)^{2}+2^{2}},
\mathcal{L}\{8e^{4t}\sin(2t)\} =8\cdot\frac{2}{(s-4)^{2}+4} =\frac{16}{(s-4)^{2}+4}.

Passo 4

Transformada de -2e^{-2t}\cos(3t).
Como \mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}},
\mathcal{L}\{-2e^{-2t}\cos(3t)\} =-2\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+9} =-\frac{2(s+2)}{(s+2)^{2}+9}.

Passo 5

Transformada de 4\delta(t-5).
Pela propriedade do delta,
\mathcal{L}\{4\delta(t-5)\} =4e^{-5s}.

Passo 6

Transformada de 2u_{5}(t)\cos\bigl(4(t-5)\bigr).
Aqui g(\tau)=\cos(4\tau) tem \mathcal{L}\{g(\tau)\}=\frac{s}{s^{2}+16}.
Pela função deslocada,
\mathcal{L}\{2u_{5}(t)\cos(4(t-5))\} =2e^{-5s}\,\frac{s}{s^{2}+16}.

Passo 7

Somando tudo por linearidade, a transformada de f(t) é a soma dos resultados dos passos anteriores.

Resposta

F(s) =\frac{100}{s^{6}} +\frac{16}{(s-4)^{2}+4} -\frac{2(s+2)}{(s+2)^{2}+9} +4e^{-5s} +2e^{-5s}\,\frac{s}{s^{2}+16}.

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