Faça o que é pedido em cada item:
(b) (10 pontos) Encontre \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4 s-6}{s^{2}+6 s+34}-\frac{15}{s^{6}}-4 e^{-4 s}\left(3+\frac{30}{s^{4}}\right)\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
F(s)=\frac{4s-6}{s^{2}+6s+34}-\frac{15}{s^{6}}-4e^{-4s}\Bigl(3+\frac{30}{s^{4}}\Bigr).
O conteúdo envolve:
  1. Completar quadrado e usar a tabela de transformadas para termos do tipo \frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}} e \frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
  2. Reconhecer potências de 1/s^{n} como transformadas de t^{n-1}.
  3. Aplicar o teorema do deslocamento no domínio de s:
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f(t-a)\,u(t-a).

Passo 2

Separamos F(s) em três parcelas:
F_{1}(s)=\frac{4s-6}{s^{2}+6s+34},\quad F_{2}(s)=-\frac{15}{s^{6}},\quad F_{3}(s)=-4e^{-4s}\Bigl(3+\frac{30}{s^{4}}\Bigr).

Passo 3

Para F_{1}(s) escrevemos
s^{2}+6s+34=(s+3)^{2}+5^{2},\qquad 4s-6=4(s+3)-18.
Então
F_{1}(s) =\frac{4(s+3)}{(s+3)^{2}+5^{2}} -\frac{18}{(s+3)^{2}+5^{2}}.
Usando
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s+3}{(s+3)^{2}+5^{2}}\Bigr\} =e^{-3t}\cos(5t), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{5}{(s+3)^{2}+5^{2}}\Bigr\} =e^{-3t}\sin(5t),
obtemos
f_{1}(t) =4e^{-3t}\cos(5t)\;-\;\frac{18}{5}\,e^{-3t}\sin(5t).

Passo 4

Para F_{2}(s)=-15/s^{6}, lembramos que
\mathcal{L}\{t^{5}\}=\frac{5!}{s^{6}}=\frac{120}{s^{6}},
logo
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{6}}\Bigr\}=\frac{t^{5}}{120},
e com o fator -15 vem
f_{2}(t)=-15\cdot\frac{t^{5}}{120}=-\frac{t^{5}}{8}.

Passo 5

Em F_{3}(s)=-4e^{-4s}\bigl(3+30/s^{4}\bigr) aplicamos o deslocamento:
  • Para 3\,e^{-4s}, note que \mathcal{L}^{-1}\{3\}=3\delta(t), então
\mathcal{L}^{-1}\{3e^{-4s}\}=3\,\delta(t-4).
  • Para 30\,e^{-4s}/s^{4}, como
\mathcal{L}\{t^{3}\}=\frac{6}{s^{4}},
então
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{30}{s^{4}}\Bigr\} =30\cdot\frac{t^{3}}{6}=5t^{3},
e com deslocamento
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{30}{s^{4}}\,e^{-4s}\Bigr\} =5\,(t-4)^{3}\,u(t-4).
Multiplicando tudo por -4 resulta
f_{3}(t)=-12\,\delta(t-4)\;-\;20\,(t-4)^{3}\,u(t-4).

Passo 6

Agora somamos f_{1}(t)+f_{2}(t)+f_{3}(t):
f(t) =4e^{-3t}\cos(5t) -\frac{18}{5}e^{-3t}\sin(5t) -\frac{t^{5}}{8} -12\,\delta(t-4) -20\,(t-4)^{3}\,u(t-4).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =4e^{-3t}\cos(5t) -\frac{18}{5}e^{-3t}\sin(5t) -\frac{t^{5}}{8} -12\,\delta(t-4) -20\,(t-4)^{3}\,u(t-4).

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