(40 Pontos)
Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo:
Determinar a solução do problema de valor inicial
,
em função de uma integral de convolução.
Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo:
Determinar a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando envolvem condições iniciais. Precisaremos conhecer as propriedades da Transformada de Laplace e como ela se aplica a derivadas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada
é
e para
é
. Como
e
, as expressões vão simplificar.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace aos termos individuais:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Passo 4
Como
e
, simplificamos:
Fatorando
:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, queremos expressar
como uma convolução no domínio do tempo. Para isso, vamos fatorar o denominador:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então,
Passo 7
Reconhecemos que
é a Transformada de Laplace de
. Portanto, podemos escrever:
Passo 8
No domínio do tempo, a multiplicação no domínio de Laplace se traduz em uma convolução. Então, a solução
é dada pela convolução de
com
, multiplicada por
:
Resposta
A solução do problema é