(40 Pontos)
Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo:
Determinar a solução do problema de valor inicial 4 y^prime prime+4 y^prime+17 y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=0 em função de uma integral de convolução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem: 4 y'' + 4 y' + 17 y = g(t), com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando envolvem condições iniciais. Precisaremos conhecer as propriedades da Transformada de Laplace e como ela se aplica a derivadas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada y' é sY(s) - y(0) e para y'' é s^2Y(s) - s y(0) - y'(0). Como y(0) = 0 e y'(0) = 0, as expressões vão simplificar.
L4 y'' + 4 y' + 17 y = Lg(t)

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace aos termos individuais:
4 Ly'' + 4 Ly' + 17 Ly = Lg(t)
Substituindo as transformadas das derivadas:
4 (s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 4 (s Y(s) - y(0)) + 17 Y(s) = G(s)

Passo 4

Como y(0) = 0 e y'(0) = 0, simplificamos:
4 s^2 Y(s) + 4 s Y(s) + 17 Y(s) = G(s)
Fatorando Y(s):
Y(s) (4 s^2 + 4 s + 17) = G(s)

Passo 5

Resolvendo para Y(s):
Y(s) = G(s)4 s^2 + 4 s + 17

Passo 6

Agora, queremos expressar Y(s) como uma convolução no domínio do tempo. Para isso, vamos fatorar o denominador:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
4 s^2 + 4 s + 17 = 4 ( s^2 + s + 174 ) = 4 ( (s + 12)^2 + 174 - 14 ) = 4 ( (s + 12)^2 + 4 )
Então,
Y(s) = G(s)4 ( (s + 12)^2 + 4 ) = 14 cdot G(s)(s + 12)^2 + 4

Passo 7

Reconhecemos que 1(s + 12)^2 + 4 é a Transformada de Laplace de e^-12 t sin(2 t). Portanto, podemos escrever:
Y(s) = 14 G(s) cdot L e^-12 t sin(2 t)

Passo 8

No domínio do tempo, a multiplicação no domínio de Laplace se traduz em uma convolução. Então, a solução y(t) é dada pela convolução de g(t) com e^-12 t sin(2 t), multiplicada por 14:
y(t) = 14 integral0^t g(tau) e^-12 (t - tau) sin(2 (t - tau)) dtau

Resposta

A solução do problema é
y(t) = 14 integral0^t g(tau) , e^-12 (t - tau) , sin(2 (t - tau)) , dtau

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