Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
{\operatorname{artg} 2 n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência larctan(2n)rn=1^infty e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, achar o limite. Vamos usar propriedades da função arctan e limites de sequência.

Passo 2

Lembremos que a função arctancolonRtol(-tfracpi2,tfracpi2r) é contínua e estritamente crescente. Além disso, tem assíntotas horizontais em pmtfracpi2:
limxto+inftyarctan(x)=tfracpi2, limxto-inftyarctan(x)=-tfracpi2

Passo 3

Como ntoinfty, o termo interno 2nto+infty. Pela continuidade de arctan, podemos passar o limite para dentro da função:
limntoinftyarctan(2n) =arctan!l(limntoinfty2nr) =arctan(+infty) =tfracpi2

Passo 4

Portanto a sequência é convergente e seu limite é tfracpi2.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyarctan(2n)=tfracpi2

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