- Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura
em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura
, onde
. Suponha que a bola seja solta a partir de uma altura inicial de
metros.
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (Use o fato de que a bola cai
metros em
segundos.)
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
(c) Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade
, ela rebaterá com velocidade
, onde
. Quanto tempo levará para a bola parar?
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (Use o fato de que a bola cai
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
(c) Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade
Passo 1
O enunciado descreve uma bola que, ao cair de uma altura inicial
, quica infinitamente, retornando a cada vez até uma altura igual a
vezes a altura anterior, com
. Para resolver, vamos usar (i) a fórmula da queda livre
para obter tempos, (ii) relações de velocidade e altura para o rebote, e (iii) soma de séries geométricas.
Passo 2
Para a distância total percorrida, note que:
– Na primeira vez, a bola desce .
– A seguir, para cada , ela sobe
e depois desce
, perfazendo
.
Logo a distância total é
– Na primeira vez, a bola desce
– A seguir, para cada
Logo a distância total é
Passo 3
Para o tempo total de pulos, usamos que a queda de uma altura
leva
e o sobe-e-desce de altura
leva
Então:
– Queda inicial: .
– Para cada , sob
esce de altura
:
Assim o tempo total é
– Queda inicial:
– Para cada
Assim o tempo total é
Passo 4
Se em cada impacto a velocidade inverte com fator
,
, então a altura após cada rebote é multiplicada por
. Logo basta pôr
no resultado do tempo. Como
, obtemos
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)