1. Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura h em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura r, onde 0<r<1. Suponha que a bola seja solta a partir de uma altura inicial de H metros.
    (a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (Use o fato de que a bola cai 12 g t^2 metros em t segundos.)
    (b) Calcule o tempo total que a bola pula.
    (c) Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade v, ela rebaterá com velocidade -k v, onde 0<k<1. Quanto tempo levará para a bola parar?

Passo 1

O enunciado descreve uma bola que, ao cair de uma altura inicial H, quica infinitamente, retornando a cada vez até uma altura igual a r vezes a altura anterior, com 0<r<1. Para resolver, vamos usar (i) a fórmula da queda livre De<a y=tfrac12>^2 para obter tempos, (ii) relações de velocidade e altura para o rebote, e (iii) soma de séries geométricas.

Passo 2

Para a distância total percorrida, note que:
– Na primeira vez, a bola desce H.
– A seguir, para cada n>=1, ela sobe r^nH e depois desce r^nH, perfazendo 2r^nH.
Logo a distância total é
S ;=; H ;+;sumn=1^infty2r^nH ;=; H ;+;2Hsumn=1^infty r^n ;=; H + 2Hr1-r ;=; H1+r1-r

Passo 3

Para o tempo total de pulos, usamos que a queda de uma altura h leva
tqueda=raiz2hg,
e o sobe-e-desce de altura h leva
tsubida+tqueda =2raiz2hg
Então:
– Queda inicial: t0=raiz2Hg.
– Para cada n>=1, sob e+desce de altura r^nH: tn=2raiz2,r^nHg=2raiz2Hg,r^n/2
Assim o tempo total é
T ;=; t0 ;+;sumn=1^infty tn ;=;raiz2Hg ;+;2raiz2Hgsumn=1^infty r^n/2 ;=;raiz2Hgl(1+2r^1/21-r^1/2r) ;=;raiz2Hg1+r^1/21-r^1/2

Passo 4

Se em cada impacto a velocidade inverte com fator -k, 0<k<1, então a altura após cada rebote é multiplicada por k^2. Logo basta pôr r=k^2 no resultado do tempo. Como r^1/2=k, obtemos
Tparada =raiz2Hg1+k1-k

Resposta

(a) S=H1+r1-r
(b) T=raiz2Hg1+r^1/21-r^1/2
(c) Tparada=raiz2Hg1+k1-k

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