Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
sigma(t)=(t-sin (t), 1-cos (t)), 0 <= t <= 2 pi
Determine os instantes t0, t1 in[0,2 pi] onde v(t)=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
sigma(t) = l(t - sin t,;1 - cos tr), 0<= t<=2pi,
e pede os instantes em que a rapidez v(t) vale 1. Para isso vamos precisar calcular a derivada sigma'(t) e em seguida a magnitude desse vetor.

Passo 2

A velocidade é dada por
sigma'(t) = l(1 - cos t,;sin tr)

Passo 3

A rapidez é
v(t) = |sigma'(t)| = raiz(1-cos t)^2 + sin^2 t = raiz2 - 2cos t = 2,l|sinl(tfract2r)r|

Passo 4

Impondo v(t)=1, obtemos
2,l|sinl(tfract2r)r| = 1 Longrightarrow l|sinl(tfract2r)r| = tfrac12
Como para tin[0,2pi] temos sin(tfract2)>=0, basta resolver
sinl(tfract2r)=tfrac12 Longrightarrow tfract2=tfracpi6 ou tfrac5pi6
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t=tfracpi3 ou t=tfrac5pi3

Resposta

t0 = tfracpi3, t1 = tfrac5pi3

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