[40 ptos] Considere 3 cargas puntiformes, fixas, nas posições \vec{r}_{1}=2 \hat{x}-2 \hat{y}, \vec{r}_{2}=3 \hat{y}, e \vec{r}_{3}=\hat{x}-\hat{y}. Os valores das cargas são q_{1}=q, q_{2}=-3 q, e q_{3}=5 q, respectivamente.
(a) Determine a força que a carga q_{1} sente devido as demais cargas ( 15 ptos). Lembre que a força é um vetor.
(b) Expresse a densidade volumétrica, \rho(\vec{r}), deste sistema de três cargas em termos da função delta de Dirac (6 ptos).
(c) Calcule o momento de dipolo elétrico deste sistema, ou seja calcule \vec{p}=\int \overrightarrow{r^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d v^{\prime}(10 ptos).
(d) Use a expansão em multipolos para determinar o potencial deste sistema até a ordem 1 / r^{2} (9 ptos).
Passo 1
O enunciado nos dá três cargas puntiformes fixas em \vec{r}_{1}=2\hat{x}-2\hat{y}, \vec{r}_{2}=3\hat{y} e \vec{r}_{3}=\hat{x}-\hat{y}
com valores q_{1}=q, q_{2}=-3q e q_{3}=5q.
Precisamos usar a lei de Coulomb para a força, a definição de densidade de carga com deltas de Dirac, o cálculo do momento de dipolo \vec p=\int \vec r'\,\rho(\vec r')\,dV' e a expansão multipolar do potencial até 1/r^{2}.
Passo 2
A força sobre q_{1} vem da superposição das atrações/repulsões de q_{2} e q_{3}: