[40 ptos] Considere 3 cargas puntiformes, fixas, nas posições \vec{r}_{1}=2 \hat{x}-2 \hat{y}, \vec{r}_{2}=3 \hat{y}, e \vec{r}_{3}=\hat{x}-\hat{y}. Os valores das cargas são q_{1}=q, q_{2}=-3 q, e q_{3}=5 q, respectivamente.
(a) Determine a força que a carga q_{1} sente devido as demais cargas ( 15 ptos). Lembre que a força é um vetor.
(b) Expresse a densidade volumétrica, \rho(\vec{r}), deste sistema de três cargas em termos da função delta de Dirac (6 ptos).
(c) Calcule o momento de dipolo elétrico deste sistema, ou seja calcule \vec{p}=\int \overrightarrow{r^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d v^{\prime}(10 ptos).
(d) Use a expansão em multipolos para determinar o potencial deste sistema até a ordem 1 / r^{2} (9 ptos).

Passo 1

O enunciado nos dá três cargas puntiformes fixas em
\vec{r}_{1}=2\hat{x}-2\hat{y},
\vec{r}_{2}=3\hat{y} e
\vec{r}_{3}=\hat{x}-\hat{y}
com valores q_{1}=q, q_{2}=-3q e q_{3}=5q.
Precisamos usar a lei de Coulomb para a força, a definição de densidade de carga com deltas de Dirac, o cálculo do momento de dipolo \vec p=\int \vec r'\,\rho(\vec r')\,dV' e a expansão multipolar do potencial até 1/r^{2}.

Passo 2

A força sobre q_{1} vem da superposição das atrações/repulsões de q_{2} e q_{3}:
\vec F_{1} = k\,q_{1}q_{2}\,\frac{\vec r_{1}-\vec r_{2}}{\bigl|\vec r_{1}-\vec r_{2}\bigr|^{3}} + k\,q_{1}q_{3}\,\frac{\vec r_{1}-\vec r_{3}}{\bigl|\vec r_{1}-\vec r_{3}\bigr|^{3}}.
Calculemos as separações:
\vec r_{1}-\vec r_{2}=(2,-2)-(0,3)=(2,-5),
\bigl|\vec r_{1}-\vec r_{2}\bigr|^{3}=(2^{2}+(-5)^{2})^{3/2}=29^{3/2}.
\vec r_{1}-\vec r_{3}=(2,-2)-(1,-1)=(1,-1),
\bigl|\vec r_{1}-\vec r_{3}\bigr|^{3}=(1^{2}+(-1)^{2})^{3/2}=2^{3/2}.
Substituindo q_{1}=q, q_{2}=-3q, q_{3}=5q:
\vec F_{1} = -3kq^{2}\,\frac{(2\,\hat x-5\,\hat y)}{29^{3/2}} +5kq^{2}\,\frac{(\,\hat x-\hat y\,)}{2^{3/2}}.

Passo 3

A densidade volumétrica do sistema de três cargas puntuais é
\rho(\vec r) = \sum_{i=1}^{3}q_{i}\,\delta^{3}\bigl(\vec r-\vec r_{i}\bigr) = q\,\delta^{3}\bigl(\vec r-(2\hat x-2\hat y)\bigr) -3q\,\delta^{3}\bigl(\vec r-3\hat y\bigr) +5q\,\delta^{3}\bigl(\vec r-(\hat x-\hat y)\bigr).

Passo 4

O momento de dipolo elétrico é
\vec p = \int \vec r'\,\rho(\vec r')\,dV' = \sum_{i}q_{i}\,\vec r_{i}.
Logo
\vec p = q(2\hat x-2\hat y) -3q(0\,\hat x+3\hat y) +5q(1\hat x-1\hat y) =(2q+0+5q)\,\hat x+(-2q-9q-5q)\,\hat y =7q\,\hat x-16q\,\hat y.

Passo 5

Na expansão multipolar a ordem 1/r^{2} o potencial é
\varphi(\vec r) \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{Q}{r}+\frac{\vec p\cdot\hat r}{r^{2}}\Bigr),
onde Q=\sum_{i}q_{i}=q-3q+5q=3q e \vec p=7q\,\hat x-16q\,\hat y.
Portanto
\varphi(\vec r) \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{3q}{r} +\frac{(7q\,\hat x-16q\,\hat y)\cdot\hat r}{r^{2}}\Bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \vec F_{1} = -3kq^{2}\,\frac{(2\,\hat x-5\,\hat y)}{29^{3/2}} +5kq^{2}\,\frac{(\,\hat x-\hat y\,)}{2^{3/2}}.\n
(b) \displaystyle \rho(\vec r) = q\,\delta^{3}(\vec r-(2\hat x-2\hat y)) -3q\,\delta^{3}(\vec r-3\hat y) +5q\,\delta^{3}(\vec r-(\hat x-\hat y)).\n
(c) \displaystyle \vec p=7q\,\hat x-16q\,\hat y.\n
(d) \displaystyle \varphi(\vec r) \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\Bigl(\frac{3q}{r} +\frac{(7q\,\hat x-16q\,\hat y)\cdot\hat r}{r^{2}}\Bigr).

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