Problema A. 3 Prove que os componentes de um vetor são únicos em relação a uma base dada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dado um espaço vetorial V e uma base fixa B = \{e_1,e_2,\dots,e_n\}, as coordenadas de um vetor v\in V em relação a B não podem ter duas expressões diferentes. Vamos usar a definição de base (geradora e linearmente independente) e a propriedade de independência linear para chegar à unicidade das componentes.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que existam dois conjuntos de escalares \{x_1,x_2,\dots,x_n\} e \{y_1,y_2,\dots,y_n\} tais que
v = x_1e_1 + x_2e_2 + \cdots + x_ne_n
e ao mesmo tempo
v = y_1e_1 + y_2e_2 + \cdots + y_ne_n.

Passo 3

Subtraindo a segunda igualdade da primeira, obtemos
0 = (x_1 - y_1)e_1 + (x_2 - y_2)e_2 + \cdots + (x_n - y_n)e_n.
Esse é um combinação linear dos vetores da base que resulta no vetor zero.

Passo 4

Como B é base, seus vetores são linearmente independentes. Logo, na expressão
(x_1 - y_1)e_1 + (x_2 - y_2)e_2 + \cdots + (x_n - y_n)e_n = 0
cada coeficiente deve ser zero:
x_1 - y_1 = 0,\quad x_2 - y_2 = 0,\;\dots,\;x_n - y_n = 0.
Dessa forma, x_i = y_i para todo i = 1,2,\dots,n.

Resposta

As componentes de um vetor em relação a uma base são únicas.

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