Problema A. 3 Prove que os componentes de um vetor são únicos em relação a uma base dada.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dado um espaço vetorial
e uma base fixa
, as coordenadas de um vetor
em relação a
não podem ter duas expressões diferentes. Vamos usar a definição de base (geradora e linearmente independente) e a propriedade de independência linear para chegar à unicidade das componentes.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que existam dois conjuntos de escalares
e
tais que
e ao mesmo tempo
Passo 3
Subtraindo a segunda igualdade da primeira, obtemos
Esse é um combinação linear dos vetores da base que resulta no vetor zero.
Passo 4
Como
é base, seus vetores são linearmente independentes. Logo, na expressão
cada coeficiente deve ser zero:
Dessa forma,
para todo
.
Resposta
As componentes de um vetor em relação a uma base são únicas.