[40 pts] Considere, inicialmente, somente um fio infinito sujeito a uma uma corrente I. Deseja-se calcular o campo magnético a uma distância y do fio usando a lei de Ampère. (a) Qual é a lei de Ampère (10 pts)? (b) Qual a direção do campo magnético (5 pts)? (c) Use esta lei para calcular o campo magnético a uma distância y ( 15 pts)? Explicite o caminho amperiano utilizando ( 5 pts). (d) Onde você usou o fato que o fio é infinito ? ( 5 pts).

Passo 1

O enunciado pede para, num fio reto e infinito percorrido por uma corrente I, calcular o campo magnético a uma distância y usando a lei de Ampère. Para isso vamos precisar de:
• A formulação integral da lei de Ampère.
• A regra da mão direita para determinar a direção de \mathbf{B}.
• A simetria cilíndrica do problema para escolher um laço amperiano apropriado.

Passo 2

(a) A lei de Ampère, em sua forma integral, afirma que
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\;\mu_{0}\,I_{\text{enc}},
onde \mathcal{C} é um caminho fechado, d\boldsymbol{\ell} é o elemento de comprimento orientado, \mathbf{B} é o campo magnético e I_{\text{enc}} é a corrente atravessada pelo laço.

Passo 3

(b) Pela simetria cilíndrica e regra da mão direita, \mathbf{B} forma linhas de campo circulares concêntricas ao fio. Se a corrente sai do plano (ou sobe), \mathbf{B} circula no sentido anti-horário visto de cima.

Passo 4

Para aplicar a lei de Ampère escolhemos como caminho \mathcal{C} uma circunferência de raio y centrada no fio. Nesse laço temos:
  • em todo ponto \mathbf{B} é tangente à circunferência,
  • o módulo \lvert\mathbf{B}\rvert é constante (devido à simetria).

Passo 5

(c) Substituindo na lei de Ampère: como \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=B\,dl e o laço tem comprimento 2\pi y,
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B\;\bigl(2\pi y\bigr) = \mu_{0}\,I.
Logo,
B(y) \;=\;\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,y}.

Passo 6

(d) O fato de o fio ser infinito foi usado para garantir a simetria cilíndrica: o campo não depende de ângulo nem de posição ao longo do fio, apenas da distância y. Essa uniformidade torna B constante no laço escolhido; sem o fio infinito não teríamos essa simplicidade.

Resposta

(a) \displaystyle \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\,I_{\text{enc}}.
(b) \mathbf{B} forma círculos concêntricos ao fio, sentido dado pela regra da mão direita.
(c) Utilizando um laço circular de raio y:
B(y)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,y}.
(d) Usamos o fio infinito para assumir simetria cilíndrica e garantir que B seja constante ao longo do laço amperiano.

Exercícios relacionados