Um modelo é utilizado para estudar o escoamento de água numa válvula que apresenta seção de alimentação com diâmetro igual a 610 mm . A vazão na válvula é 0,85 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e o fluido utilizado no modelo também é água na mesma temperatura daquela que escoa no protótipo. a semelhança entre o modelo e o protótipo é completa e o diâmetro da seção de alimentação do modelo =76,2 \mathrm{~mm}. Determine a vazão de água no modelo.

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede:\n
  • Diâmetro da alimentação do protótipo: D_p = 610\\ \text{mm} = 0,61\\ \text{m}.\n
  • Vazão no protótipo: Q_p = 0,85\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n
  • Diâmetro da alimentação do modelo: D_m = 76,2\\ \text{mm} = 0,0762\\ \text{m}.\n
  • O enunciado diz que a semelhança entre modelo e protótipo é completa e que o fluido é o mesmo (água).\n
    Pergunta: determinar a vazão de água no modelo Q_m.

Passo 2

Conceito de semelhança aplicável e razão de escala:\n
Quando temos semelhança completa envolvendo escoamentos com superfície livre ou em que a gravidade é importante, a condição clássica de semelhança dinâmica a impor é a igualdade do número de Froude entre modelo e protótipo. Vamos explicar o que é esse número e por que ele é usado.\n
  • Definição do número de Froude: Fr=\frac{V}{\sqrt{gL}}, onde \n - V é uma velocidade característica do escoamento (m/s),\n - g é a aceleração da gravidade (m/s²),\n - L é uma dimensão linear característica (m) — aqui usamos o diâmetro D.\n\nIgualando Fr entre modelo (índice m) e protótipo (índice p):\n \frac{V_m}{\sqrt{gL_m}}=\frac{V_p}{\sqrt{gL_p}}
o que simplifica para\n \frac{V_m}{V_p}=\sqrt{\frac{L_m}{L_p}}.
Ou seja, a escala de velocidades é \sqrt{\lambda}, onde \lambda=L_m/L_p.\n
Área característica escala como A\propto L^2, logo \dfrac{A_m}{A_p}=\lambda^2.\n
A vazão é Q=V\cdot A, portanto a escala de vazões é\n \frac{Q_m}{Q_p}=\frac{V_m}{V_p}\cdot\frac{A_m}{A_p}=\sqrt{\lambda}\cdot\lambda^{2}=\lambda^{5/2}.
Observação curta (útil para prova): usamos Froude porque a gravidade ou efeitos de superfície têm papel; se fosse semelhança de escoamento interno onde a inércia/viscosidade domina, olharíamos Reynolds, mas o enunciado fala em semelhança completa e as dimensões e figura indicam efeito de escala do tipo Froude.

Passo 3

Calcular a razão geométrica \lambda:\n
\lambda=\frac{D_m}{D_p}=\frac{0,0762}{0,61}=0,125=\frac{1}{8}.

Passo 4

Aplicar a relação de escala das vazões e calcular numericamente:\n
Fórmula geral (em bloco):
Q_m = Q_p\left(\frac{D_m}{D_p}\right)^{5/2}.
Substituindo \lambda=\tfrac{1}{8} e Q_p=0,85\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:\n
Q_m=0,85\left(\frac{1}{8}\right)^{5/2}=0,85\cdot\frac{1}{8^{2{,}5}}.
Calculemos passo a passo:\n
8^{2{,}5}=8^{2}\cdot 8^{0{,}5}=64\cdot\sqrt{8}\approx 64\cdot 2{,}828427\approx 181{,}0193,\n
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\left(\frac{1}{8}\right)^{5/2}\approx 0{,}00552427,\n
e
Q_m\approx 0{,}85\cdot 0{,}00552427 \approx 0{,}00469563\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n
Convertendo para litros por segundo (1 \mathrm{m}^3/\mathrm{s}=1000\\ \mathrm{L/s}):\n
Q_m\approx 4{,}70\\ \mathrm{L/s}.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para prova:\n
  • Resultado faz sentido: modelo 8 vezes menor linearmente permite vazão muito menor (escala \lambda^{5/2}).\n
  • Na prova, identifique sempre qual número adimensional governa a semelhança (aqui, Froude) e derive a escala de Q por Q\sim V\cdot A.

Resposta

Q_m=0,0046956\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\approx 4,70\\ \mathrm{L/s}

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