Um modelo é utilizado para estudar o escoamento de água numa válvula que apresenta seção de alimentação com diâmetro igual a 610 mm . A vazão na válvula é
e o fluido utilizado no modelo também é água na mesma temperatura daquela que escoa no protótipo. a semelhança entre o modelo e o protótipo é completa e o diâmetro da seção de alimentação do modelo
. Determine a vazão de água no modelo.
Passo 1
Dados fornecidos e o que se pede:\n
- Diâmetro da alimentação do protótipo:
.\n - Vazão no protótipo:
.\n - Diâmetro da alimentação do modelo:
.\n - O enunciado diz que a semelhança entre modelo e protótipo é completa e que o fluido é o mesmo (água).\n
Pergunta: determinar a vazão de água no modelo.
Passo 2
Conceito de semelhança aplicável e razão de escala:\n
Quando temos semelhança completa envolvendo escoamentos com superfície livre ou em que a gravidade é importante, a condição clássica de semelhança dinâmica a impor é a igualdade do número de Froude entre modelo e protótipo. Vamos explicar o que é esse número e por que ele é usado.\n
Quando temos semelhança completa envolvendo escoamentos com superfície livre ou em que a gravidade é importante, a condição clássica de semelhança dinâmica a impor é a igualdade do número de Froude entre modelo e protótipo. Vamos explicar o que é esse número e por que ele é usado.\n
- Definição do número de Froude:
onde \n - é uma velocidade característica do escoamento (m/s),\n - é a aceleração da gravidade (m/s²),\n - é uma dimensão linear característica (m) — aqui usamos o diâmetro .\n\nIgualando entre modelo (índice ) e protótipo (índice ):\n
o que simplifica para\n
Ou seja, a escala de velocidades é
, onde
.\n
Área característica escala como , logo
.\n
Área característica escala como
A vazão é
, portanto a escala de vazões é\n
Observação curta (útil para prova): usamos Froude porque a gravidade ou efeitos de superfície têm papel; se fosse semelhança de escoamento interno onde a inércia/viscosidade domina, olharíamos Reynolds, mas o enunciado fala em semelhança completa e as dimensões e figura indicam efeito de escala do tipo Froude.
Passo 3
Calcular a razão geométrica
:\n
Passo 4
Aplicar a relação de escala das vazões e calcular numericamente:\n
Fórmula geral (em bloco):
Fórmula geral (em bloco):
Substituindo
e
:\n
Calculemos passo a passo:\n
logo
e
Convertendo para litros por segundo (1
):\n
Passo 5
Interpretação rápida e dica para prova:\n
- Resultado faz sentido: modelo 8 vezes menor linearmente permite vazão muito menor (escala
).\n - Na prova, identifique sempre qual número adimensional governa a semelhança (aqui, Froude) e derive a escala de
por .