[40] Verifique que arccos (-x)=pi-arccos (x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a identidade envolvendo a função arco cosseno, mais precisamente
arccos(-x)=pi-arccos(x),
para x em [-1,1]. Vamos usar propriedades do cosseno e o fato de que arccos dá o valor em [0,pi].

Passo 2

Seja
theta = arccos(x)
Por definição de arco cosseno, temos thetain[0,pi] e
cos(theta)=x

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
cos(pi-theta) = -cos(theta)
Substituindo cos(theta)=x, fica
cos(pi-theta) = -x

Passo 4

Note que pi-theta também está em [0,pi]. Como arccos(-x) é definido como o único ângulo em [0,pi] cujo cosseno é -x, concluímos
arccos(-x)=pi-theta=pi-arccos(x)

Resposta

arccos(-x)=pi-arccos(x)

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