Calcule a integral
integral0^2(43 x^3-34 x^2+25 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida de um polinômio em x no intervalo de 0 a 2:
integral0^2l(tfrac43x^3-tfrac34x^2+tfrac25xr),dx
O conteúdo aqui é aplicação da regra de potência para antiderivadas, ou seja, integral x^ndx = x^n+1/(n+1).

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F(x) termo a termo usando a regra de potência:
integral tfrac43x^3,dx = tfrac43cdottfracx^44 = tfracx^43, integral -tfrac34x^2,dx = -tfrac34cdottfracx^33 = -tfracx^34, integral tfrac25x,dx = tfrac25cdottfracx^22 = tfracx^25
Logo,
F(x) = x^43 - x^34 + x^25

Passo 3

Pela definição de integral definida,
integral0^2l(tfrac43x^3-tfrac34x^2+tfrac25xr),dx = F(2) - F(0)
Note que F(0)=0.

Passo 4

Calculemos F(2):
F(2)=2^43 - 2^34 + 2^25 = 163 - 2 + 45 = 8015 - 3015 + 1215 = 6215

Resposta

integral0^2l(tfrac43x^3-tfrac34x^2+tfrac25xr),dx = 6215

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