Encontre c in[a, b] tal que (b-a) f(c)=integrala^b f(x) d x, para:
f(x)=x^2+1x,[a, b]=[1,3]

Passo 1

O enunciado pede um valor cin[1,3] que satisfaz
(3-1),f(c)=integral1^3f(x),dx,,
onde f(x)=x^2+tfrac1x.
O conteúdo aplicado é o Teorema do Valor Médio para Integrais, que garante que existirá c tal que
;f(c)=1b-aintegrala^b f(x),dx,

Passo 2

Calcular a integral de f separando em duas partes:
integral1^3f(x),dx =integral1^3x^2,dx+integral1^31x,dx =l[x^33r]1^3+l[ln xr]1^3
=l(273-13r)+(ln 3-ln1) =263+ln 3

Passo 3

O valor médio de f em [1,3] é
13-1integral1^3f(x),dx =12l(263+ln 3r) =133+ln32

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Médio, existe c tal que
f(c)=c^2+1c =133+ln32
Multiplicando ambos os lados por c, obtemos a equação cúbica
c^3-l(133+ln32r)c+1=0

Passo 5

Para achar numericamente a raiz em [1,3], note que a função
g(c)=c^3-l(133+ln32r)c+1
é negativa em c=1 e positiva em c=3, logo há uma raiz única.
Aplicando bisseção ou método de Newton localizamos
capprox2,10

Resposta

capprox2,10 gera (3-1)f(c)=integral1^3f(x),dx.

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