Calcule os limites caso existam
lim t 0(raiz1+t-1t i+t-1t+1 j-sinh tt k)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite vetorial
limtto 0l(raiz1+t-1t,vec i ;+;t-1t+1,vec j;-;sinh tt,vec kr)
O conteúdo usado aqui são limites básicos e expansões em série de Taylor em torno de t=0:
– Para raiz1+t, usamos raiz1+t=1+tfract2+O(t^2).
– Para sinh t, usamos sinh t=t+O(t^3).
– Para funções racionais simples, aplicamos a substituição direta quando possível.

Passo 2

Avaliar o primeiro componente
raiz1+t-1t
Usando a expansão
raiz1+t=1+t2+O(t^2),
temos
raiz1+t-1t =l(1+tfract2+O(t^2)r)-1t =tfract2+O(t^2)t =12+O(t),
portanto
limtto0raiz1+t-1t=12

Passo 3

Avaliar o segundo componente
t-1t+1
Aqui basta substituir t=0 pois o denominador não anula:
0-10+1=-1,
logo
limtto0t-1t+1=-1

Passo 4

Avaliar o terceiro componente
-sinh tt
Sabemos o limite padrão
limtto0sinh tt=1,
então
limtto0l(-sinh ttr)=-1

Passo 5

Reunindo as três componentes, o limite vetorial é
12,vec i +(-1),vec j+(-1),vec k =12,vec i-vec j-vec k

Resposta

12,vec i-vec j-vec k

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