Calcule os limites caso existam
lim t 0(sin tt i+1-cos tt j+e^2 t k)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial
r(t)=sin tt,i+1-cos tt,j+e^2t,k
quando tto0. O conteúdo envolvido é cálculo de limites de funções reais e a propriedade de que
limtto0r(t) =l(limtto0rx(t)r),i+ l(limtto0ry(t)r),j+ l(limtto0rz(t)r),k,
desde que cada limite componente exista.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de limite de vetor e escrevemos
limtto0r(t) =l(limtto0sin ttr)i +l(limtto01-cos ttr)j +l(limtto0e^2tr)k

Passo 3

Para a componente x, usamos o limite fundamental
limtto0sin tt=1

Passo 4

Para a componente y, observamos que 1-cos tt é uma forma 0/0 em t=0. Aplicando a regra de l’H^opital: derivada do numerador é sin t e do denominador é 1, logo
limtto01-cos tt =limtto0sin t =0

Passo 5

Para a componente z, a função exponencial é contínua, então
limtto0e^2t=e^0=1

Resposta

limtto0gl(sin tt,i+1-cos tt,j+e^2t,kgr) =i+0,j+k =i+k

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