De 400 moradores sorteados de uma grande cidade industrial, 300 são favoráveis a um projeto governamental, e de uma amostra de 200 moradores de uma cidade cuja principal atividade é o turismo, 80 são contra.
Você diria que a diferença de opiniões nas duas cidades é estatisticamente significante? Realize o teste de hipóteses adequado ao nível de 5 % de significância.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem duas cidades diferentes e queremos saber se a opinião dos moradores sobre um projeto governamental é diferente de uma para a outra de forma significativa. Na primeira cidade, que é industrial, 300 de 400 moradores estão a favor. Já na segunda cidade, voltada para o turismo, de 200 moradores, 80 estão contra o projeto. Vamos usar um teste de hipóteses para comparar essas proporções e ver se a diferença é estatisticamente significante, usando um nível de confiança de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as proporções de moradores a favor em cada cidade:
  • Cidade Industrial:
    • Total de moradores: 400
    • A favor: 300
    • Proporção (p₁) = 300 / 400 = 0,75
  • Cidade Turística:
    • Total de moradores: 200
    • Contra: 80, então a favor: 200 - 80 = 120
    • Proporção (p₂) = 120 / 200 = 0,60

Passo 3

Agora, vamos estabelecer as hipóteses para o teste:
  • Hipótese Nula (H₀): Não há diferença nas proporções de aprovação entre as duas cidades. Ou seja, p₁ - p₂ = 0.
  • Hipótese Alternativa (H₁): Há diferença nas proporções de aprovação entre as duas cidades. Ou seja, p₁ - p₂ ≠ 0.

Passo 4

Vamos calcular a proporção combinada de aprovação, assumindo que a hipótese nula é verdadeira:
p = x₁ + x₂n₁ + n₂ = 300 + 120400 + 200 = 420600 = 0,70

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão (SE) da diferença entre as proporções:
SE = raizp times (1 - p) times (1n₁ + 1n₂)
Substituindo os valores:
SE = raiz0,70 times 0,30 times (1400 + 1200)
SE = raiz0,21 times 0,0075
SE approx raiz0,001575 approx 0,0397

Passo 6

Agora, calculamos o valor do teste Z:
Z = p₁ - p₂SE = 0,75 - 0,600,0397 approx 0,150,0397 approx 3,78

Passo 7

Vamos determinar o valor crítico para o teste. Como o nível de significância é de 5% e o teste é bilateral, os valores críticos de Z são aproximadamente ±1,96.

Passo 8

Comparamos o valor calculado de Z com o valor crítico:
|3,78| > 1,96
Como o valor absoluto de Z é maior que 1,96, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

A diferença de opiniões entre as duas cidades é estatisticamente significante ao nível de 5% de significância.

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