Sejam X e Y variáveis aleatórias com função de probabilidade conjunta f(x, y)=c(4 x+2 y), para x=1,2,3 e y=1,2,3, onde c é uma constante real.
Calcule P(X<3, Y<2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, com uma função de probabilidade conjunta dada por $ f(x, y) = c(4x + 2y) $ para $ x = 1, 2, 3 $ e $ y = 1, 2, 3 $. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de $ X < 3 $ e $ Y < 2 $. Para isso, precisamos entender conceitos de distribuição de probabilidade conjunta e como encontrar a constante $ c $ que normaliza a função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ c $. Sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Portanto, somamos $ f(x, y) $ para todos os valores possíveis de $ x $ e $ y $:
c
Vamos calcular essa soma passo a passo.

Passo 3

Vamos somar para cada combinação de $ x $ e $ y $:
x
Agora somamos todos esses termos:
y
Então, temos:
f(1,1) &= c(4 times 1 + 2 times 1) = 6c f(1,2) &= c(4 times 1 + 2 times 2) = 8c f(1,3) &= c(4 times 1 + 2 times 3) = 10c f(2,1) &= c(4 times 2 + 2 times 1) = 10c f(2,2) &= c(4 times 2 + 2 times 2) = 12c f(2,3) &= c(4 times 2 + 2 times 3) = 14c f(3,1) &= c(4 times 3 + 2 times 1) = 14c f(3,2) &= c(4 times 3 + 2 times 2) = 16c f(3,3) &= c(4 times 3 + 2 times 3) = 18c

Passo 4

Agora que sabemos que $ c = \frac{1}{108} $, vamos calcular $ P(X < 3, Y < 2) $. Isso significa que $ X $ pode ser 1 ou 2 e $ Y $ pode ser apenas 1 (já que $ Y < 2 $).
As combinações possíveis são:
c = 1108
Vamos calcular $ f(x, y) $ para essas combinações:
P(X < 3, Y < 2)
Agora, somamos essas probabilidades:
X

Resposta

A probabilidade $ P(X < 3, Y < 2) $ é $ \frac{4}{27} $.

Exercícios relacionados