Sejam
e
variáveis aleatórias com função de probabilidade conjunta
, para
e
, onde c é uma constante real.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, com uma função de probabilidade conjunta dada por $ f(x, y) = c(4x + 2y) $ para $ x = 1, 2, 3 $ e $ y = 1, 2, 3 $. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de $ X < 3 $ e $ Y < 2 $. Para isso, precisamos entender conceitos de distribuição de probabilidade conjunta e como encontrar a constante $ c $ que normaliza a função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ c $. Sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Portanto, somamos $ f(x, y) $ para todos os valores possíveis de $ x $ e $ y $:
Vamos calcular essa soma passo a passo.
Passo 3
Vamos somar para cada combinação de $ x $ e $ y $:
Agora somamos todos esses termos:
Então, temos:
Passo 4
Agora que sabemos que $ c = \frac{1}{108} $, vamos calcular $ P(X < 3, Y < 2) $. Isso significa que $ X $ pode ser 1 ou 2 e $ Y $ pode ser apenas 1 (já que $ Y < 2 $).
As combinações possíveis são:
Vamos calcular $ f(x, y) $ para essas combinações:
Agora, somamos essas probabilidades:
Resposta
A probabilidade $ P(X < 3, Y < 2) $ é $ \frac{4}{27} $.