Um estudo ácompanhou a ingestão de calorias diárias para uma amostra de adolescentes que afirmaram comer fast-food frequentemente e outra amostra de adolescentes que disseram que não costumam comer fast-food.
fast-food tamanho amostral média amostral desvio padrão amostral
c|c|c|c fast-food & tamanho amostral & média amostral & desvio padrão amostral hline $sim$ & 413 & 2637 & 1138 não & 663 & 2258 & 1519 413 2637 1138
não 663 2258 1519
Os dados fornecem evidências para concluir que a ingestão calórica média para os adolescentes que frequentemente comem fast-food excede em mais de 200 calorias diárias o consumo méclio parà aqueles que não costumam comer fast-food? Realize um teste de hipóteses ao nível de significância de 5 %.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão aborda Estatística, mais especificamente o teste de hipóteses para comparar médias de duas populações. Precisamos verificar se a média de calorias diárias dos adolescentes que comem fast-food frequentemente é, de fato, mais de 200 calorias maior do que a dos que não comem fast-food. Para isso, vamos usar os dados fornecidos e realizar um teste ao nível de significância de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as hipóteses que vamos testar. Em um teste de hipóteses, formulamos duas hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): Não há diferença significativa ou a diferença é igual ou menor que o valor especificado.
  • Hipótese alternativa ( Ha): Há uma diferença significativa, conforme especificado no problema.
No nosso caso:
  • H0: mufast-food - munão fast-food <= 200ã calorias
  • Ha: mufast-food - munão fast-food > 200ã calorias
Queremos verificar se a diferença média é maior que 200 calorias.

Passo 3

Agora, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Grupo que come fast-food:
    • Tamanho da amostra ( n1) = 413
    • Média amostral ( barx1) = 2637 calorias
    • Desvio padrão amostral ( s1) = 1138 calorias
  • Grupo que não come fast-food:
    • Tamanho da amostra ( n2) = 663
    • Média amostral ( barx2) = 2258 calorias
    • Desvio padrão amostral ( s2) = 1519 calorias

Passo 4

Vamos calcular a diferença entre as médias amostrais:
barx1 - barx2 = 2637 - 2258 = 379 calorias
A diferença observada é de 379 calorias, que é maior que 200, mas precisamos verificar se essa diferença é estatisticamente significativa.

Passo 5

Para comparar duas médias, usamos o teste t para duas amostras independentes. A fórmula do t é:
t = (barx1 - barx2) - De
Onde:
  • De é a diferença específica que estamos testando (no caso, 200 calorias).
Vamos substituir os valores:
t = (2637 - 2258) - 200raiz1138^2413 + 1519^2663

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o numerador:
379 - 200 = 179
Agora, vamos calcular o denominador:
raiz1138^2413 + 1519^2663 = raiz1295044413 + 2307661663 approx raiz3137.73 + 3480.55 approx raiz6618.28 approx 81.34

Passo 7

Agora, calculamos o valor de t:
t = 17981.34 approx 2.20

Passo 8

Precisamos determinar o valor crítico de t para nosso teste. Como o nível de significância é de 5% ( alpha = 0.05) e o teste é unilateral (queremos saber se é maior que), procuramos o valor de t que deixa 5% na cauda direita da distribuição t.
Com graus de liberdade aproximados (usando a fórmula de Welch para graus de liberdade):
Calculando:
df approx (s1^2n1 + s2^2n2)^2(s1^2n1)^2n1 -1 + (s2^2n2)^2n2 -1
Como os graus de liberdade são grandes devido aos tamanhos amostrais, podemos aproximar usando a distribuição normal. O valor crítico para df approx (3137.73 + 3480.55)^23137.73^2412 + 3480.55^2662 approx 6618.28^223,329,241 + 18,245,544 approx 43,806,45241,574,785 approx 1.05 em um teste unilateral é aproximadamente 1.645.

Passo 9

Agora, comparamos nosso valor de t calculado com o valor crítico:
tcalculado = 2.20 > tcrítico = 1.645 í
Como tcalculado é maior que tcríticoí, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, há evidências estatísticas suficientes para concluir, ao nível de significância de 5%, que a ingestão calórica média dos adolescentes que frequentemente comem fast-food excede em mais de 200 calorias diárias a média daqueles que não consomem fast-food.

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