Um estudo ácompanhou a ingestão de calorias diárias para uma amostra de adolescentes que afirmaram comer fast-food frequentemente e outra amostra de adolescentes que disseram que não costumam comer fast-food.
fast-food
tamanho amostral
média amostral
desvio padrão amostral
413
2637
1138
não
663
2258
1519
Os dados fornecem evidências para concluir que a ingestão calórica média para os adolescentes que frequentemente comem fast-food excede em mais de 200 calorias diárias o consumo méclio parà aqueles que não costumam comer fast-food? Realize um teste de hipóteses ao nível de significância de
.
fast-food | tamanho amostral | média amostral | desvio padrão amostral |
|
413 | 2637 | 1138 |
não | 663 | 2258 | 1519 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão aborda Estatística, mais especificamente o teste de hipóteses para comparar médias de duas populações. Precisamos verificar se a média de calorias diárias dos adolescentes que comem fast-food frequentemente é, de fato, mais de 200 calorias maior do que a dos que não comem fast-food. Para isso, vamos usar os dados fornecidos e realizar um teste ao nível de significância de 5%.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as hipóteses que vamos testar. Em um teste de hipóteses, formulamos duas hipóteses:
- Hipótese nula (
): Não há diferença significativa ou a diferença é igual ou menor que o valor especificado. - Hipótese alternativa (
): Há uma diferença significativa, conforme especificado no problema.
No nosso caso:
-
: calorias -
: calorias
Queremos verificar se a diferença média é maior que 200 calorias.
Passo 3
Agora, vamos identificar os dados fornecidos:
-
Grupo que come fast-food:
- Tamanho da amostra (
) = 413 - Média amostral (
) = 2637 calorias - Desvio padrão amostral (
) = 1138 calorias
- Tamanho da amostra (
-
Grupo que não come fast-food:
- Tamanho da amostra (
) = 663 - Média amostral (
) = 2258 calorias - Desvio padrão amostral (
) = 1519 calorias
- Tamanho da amostra (
Passo 4
Vamos calcular a diferença entre as médias amostrais:
A diferença observada é de 379 calorias, que é maior que 200, mas precisamos verificar se essa diferença é estatisticamente significativa.
Passo 5
Para comparar duas médias, usamos o teste t para duas amostras independentes. A fórmula do t é:
Onde:
-
é a diferença específica que estamos testando (no caso, 200 calorias).
Vamos substituir os valores:
Passo 6
Primeiro, vamos calcular o numerador:
Agora, vamos calcular o denominador:
Passo 7
Agora, calculamos o valor de t:
Passo 8
Precisamos determinar o valor crítico de t para nosso teste. Como o nível de significância é de 5% (
) e o teste é unilateral (queremos saber se é maior que), procuramos o valor de t que deixa 5% na cauda direita da distribuição t.
Com graus de liberdade aproximados (usando a fórmula de Welch para graus de liberdade):
Calculando:
Como os graus de liberdade são grandes devido aos tamanhos amostrais, podemos aproximar usando a distribuição normal. O valor crítico para
em um teste unilateral é aproximadamente 1.645.
Passo 9
Agora, comparamos nosso valor de t calculado com o valor crítico:
Como
é maior que
, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste realizado, há evidências estatísticas suficientes para concluir, ao nível de significância de 5%, que a ingestão calórica média dos adolescentes que frequentemente comem fast-food excede em mais de 200 calorias diárias a média daqueles que não consomem fast-food.