Uma empresa estuda o efeito de diversos fatores sobre a produtividade de seus trabalhadores.
Para testar se a produtividade média dos operários do período diurno é igual à produtividade média dos operários do período noturno, selecionou-se duas amostras, uma de cada turno. observando-se a produção de cada operário. De acordo com os resultados abaixo, quais seriam suas conclusões? Considere alpha=5 %.
Período n c|c|c|c Período & n & $sumi=1^n xi$ & $sumi=1^n xi^2$ hline Diurno & 15 & 180 & 2.660 Noturno & 15 & 150 & 2.980
Diurno 15 180 2.660
Noturno 15 150 2.980

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma empresa que quer saber se a produtividade média dos trabalhadores no período diurno é igual à produtividade no período noturno. Para isso, eles coletaram dados de duas amostras, uma de cada turno, e querem saber se há diferença significativa entre as médias. O que vamos precisar para resolver isso é entender como comparar duas médias de grupos independentes usando um teste de hipóteses, especificamente o teste t para duas amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de produtividade para cada período. A média é a soma das produções dividida pelo número de operários.
Para o período diurno:
barXD = sumi=1^15 xi15 = 18015 = 12
Para o período noturno:
barXN = sumi=1^15 xi15 = 15015 = 10
Então, a média diurna é 12 e a média noturna é 10.

Passo 3

Agora, vamos definir as nossas hipóteses para o teste.
  • Hipótese nula ( H0): A produtividade média no período diurno é igual à do noturno.
H0: muD = muN
  • Hipótese alternativa ( Ha): A produtividade média no período diurno é diferente da do noturno.
Ha: muD neq muN

Passo 4

Vamos escolher o tipo de teste apropriado. Como temos duas amostras independentes e queremos comparar as médias, vamos usar o teste t para duas amostras. Precisamos verificar se as variâncias das duas amostras são iguais para decidir se usamos a fórmula do teste com variâncias iguais ou não.
Para isso, calculamos a variância de cada grupo.

Passo 5

Primeiro, calculamos a variância para o período diurno ( sD^2) e para o noturno ( sN^2).
A fórmula da variância é:
s^2 = sum xi^2 - (sum xi)^2nn - 1
Para o diurno:
sD^2 = 2660 - 180^21515 - 1 = 2660 - 324001514 = 2660 - 216014 = 50014 approx 35,71
Para o noturno:
sN^2 = 2980 - 150^21515 - 1 = 2980 - 225001514 = 2980 - 150014 = 148014 approx 105,71
As variâncias são diferentes, então usaremos a fórmula do teste t que não assume variâncias iguais.

Passo 6

Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula para variâncias diferentes:
t = barXD - barXNraizsD^2nD + sN^2nN
Onde:
  • barXD = 12
  • barXN = 10
  • sD^2 approx 35,71
  • sN^2 approx 105,71
  • nD = nN = 15
Substituindo:
t = 12 - 10raiz35,7115 + 105,7115 = 2raiz2,381 + 7,047 = 2raiz9,428 approx 23,07 approx 0,65

Passo 7

Agora, precisamos comparar o valor calculado de t com o valor crítico da distribuição t para um nível de significância de $ \alpha = 5% $ e graus de liberdade. Como as variâncias são diferentes, usamos a fórmula de Satterthwaite para graus de liberdade:
alpha = 5%
Calculando:
df approx (sD^2nD + sN^2nN)^2(sD^2nD)^2nD -1 + (sN^2nN)^2nN -1
Arredondamos para 22 graus de liberdade. Olhando na tabela t, para $ \alpha = 5% $ e teste bilateral, o valor crítico é aproximadamente 2,074.
Como $ |t| = 0,65 < 2,074 $, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para afirmar que a produtividade média dos operários no período diurno é diferente da do período noturno ao nível de significância de 5%. Portanto, concluímos que as médias de produtividade dos dois turnos são iguais.

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