Suponha que o par aleatório (X, Y) possui distribuição normal bivariada, sendo muX=5, muY=10, sigmaX^2=9, sigmaY^2=4 е rho=-0,5.
Encontre a distribuição de 2 X-Y e calcule P(2 X-Y>0).

Passo 1

Então, pessoal, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ que seguem uma distribuição normal bivariada. Isso significa que ambas são normais e têm uma certa correlação entre elas. Os parâmetros que a gente tem são:
  • Média de $ X $: $ \mu_X = 5 $
  • Média de $ Y $: $ \mu_Y = 10 $
  • Variância de $ X $: $ \sigma_X^2 = 9 $
  • Variância de $ Y $: $ \sigma_Y^2 = 4 $
  • Correlação entre $ X $ e $ Y $: $ \rho = -0,5 $
Nosso objetivo é encontrar a distribuição de $ 2X - Y $ e calcular a probabilidade $ P(2X - Y > 0) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se a gente tem uma combinação linear de variáveis normais, como $ 2X - Y $, ela também será normalmente distribuída. Para encontrar a distribuição de $ 2X - Y $, precisamos calcular a média e a variância dessa combinação.

Passo 3

Vamos calcular a média de $ 2X - Y $. A média de uma combinação linear é a combinação das médias:
2X - Y
Então, a média de $ 2X - Y $ é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de $ 2X - Y $. A variância de uma combinação linear de variáveis é dada por:
2X - Y
Substituindo os valores:
sigma2X - Y^2 = 2^2sigmaX^2 + (-1)^2sigmaY^2 + 2 times 2 times (-1) times rho sigmaX sigmaY
sigma2X - Y^2 = 4 times 9 + 1 times 4 + 2 times 2 times (-1) times (-0,5) times 3 times 2
sigma2X - Y^2 = 36 + 4 + 2 times 2 times (-1) times (-0,5) times 6
Então, a variância de $ 2X - Y $ é 52.

Passo 5

Com a média e a variância, sabemos que $ 2X - Y $ segue uma distribuição normal com média 0 e variância 52, ou seja:
2X - Y

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade $ P(2X - Y > 0) $. Como a média de $ 2X - Y $ é 0, essa probabilidade corresponde à probabilidade de uma variável normal ser maior que a sua média.
Em uma distribuição normal simétrica, essa probabilidade é exatamente 50%.

Resposta

A distribuição de $ 2X - Y $ é $ \mathcal{N}(0, 52) $ e $ P(2X - Y > 0) = 0,5 $ ou 50%.

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