Suponha que o par aleatório
possui distribuição normal bivariada, sendo
,
е
.
Encontre a distribuição de
e calcule
.
Encontre a distribuição de
Passo 1
Então, pessoal, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ que seguem uma distribuição normal bivariada. Isso significa que ambas são normais e têm uma certa correlação entre elas. Os parâmetros que a gente tem são:
- Média de $ X $: $ \mu_X = 5 $
- Média de $ Y $: $ \mu_Y = 10 $
- Variância de $ X $: $ \sigma_X^2 = 9 $
- Variância de $ Y $: $ \sigma_Y^2 = 4 $
- Correlação entre $ X $ e $ Y $: $ \rho = -0,5 $
Nosso objetivo é encontrar a distribuição de $ 2X - Y $ e calcular a probabilidade $ P(2X - Y > 0) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se a gente tem uma combinação linear de variáveis normais, como $ 2X - Y $, ela também será normalmente distribuída. Para encontrar a distribuição de $ 2X - Y $, precisamos calcular a média e a variância dessa combinação.
Passo 3
Vamos calcular a média de $ 2X - Y $. A média de uma combinação linear é a combinação das médias:
Então, a média de $ 2X - Y $ é 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância de $ 2X - Y $. A variância de uma combinação linear de variáveis é dada por:
Substituindo os valores:
Então, a variância de $ 2X - Y $ é 52.
Passo 5
Com a média e a variância, sabemos que $ 2X - Y $ segue uma distribuição normal com média 0 e variância 52, ou seja:
Passo 6
Agora, vamos calcular a probabilidade $ P(2X - Y > 0) $. Como a média de $ 2X - Y $ é 0, essa probabilidade corresponde à probabilidade de uma variável normal ser maior que a sua média.
Em uma distribuição normal simétrica, essa probabilidade é exatamente 50%.
Resposta
A distribuição de $ 2X - Y $ é $ \mathcal{N}(0, 52) $ e $ P(2X - Y > 0) = 0,5 $ ou 50%.