4[1,0] Seja a base ortonormal E=\left\{\widehat{e}_{1}, \widehat{e}_{2}\right\}.
(a) Determine a situação de dependência ou independência linear dos conjuntos
expresso na base E, determine suas coordenadas em termos da base determinada no item (a), e verifique se o ordenamento da nova base é dextrógira ou levógira.
Passo 1
O enunciado trabalha em \mathbb{R}^2 com a base ortonormal \r \,E=\{\widehat e_{1},\widehat e_{2}\}. \r
No item (a) temos dois conjuntos de dois vetores em coordenadas de E: \r \displaystyle F=\{\,\overrightarrow f_{1}=\widehat e_{1}+\widehat e_{2},\;\overrightarrow f_{2}=2\widehat e_{1}-\widehat e_{2}\} \r
e \r \displaystyle G=\{\vec g_{1}=\widehat e_{1}-3\widehat e_{2},\;\vec g_{2}=-3\widehat e_{1}+6\widehat e_{2}\}. \r
Vamos testar dependência linear de cada conjunto calculando o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores em E. \r
No item (b), escolhemos a base F (que for conclusivamente independente) e expressamos o vetor \r \displaystyle \vec v=(4,1) em coordenadas dessa nova base, além de decidir se ela é dextrógira ou levógira pela orientação (sinal do determinante).
Passo 2
Para F, as coordenadas de \overrightarrow f_{1} e \overrightarrow f_{2} em E são\r \overrightarrow f_{1}=(1,1) e \overrightarrow f_{2}=(2,-1). \r
Formamos a matriz \r
\;A=\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&-1\end{pmatrix}\r
e calculamos \r
\det(A)=1\cdot(-1)-2\cdot1=-1-2=-3\neq0. \r
Como o determinante é não nulo, o conjunto F é linearmente independente.
Passo 3
Para G, as coordenadas de \vec g_{1} e \vec g_{2} em E são\r \vec g_{1}=(1,-3) e \vec g_{2}=(-3,6). \r
Formamos a matriz \r
\;B=\begin{pmatrix}1&-3\\\ -3&6\end{pmatrix}\r
e calculamos \r
\det(B)=1\cdot6-(-3)\cdot(-3)=6-9=-3\neq0. \r
Como o determinante é não nulo, o conjunto G também é linearmente independente.
Passo 4
Como F\) é uma base de \(\mathbb{R}^2\), vamos escrever \r \(\displaystyle \vec v=(4,1)\) \r
na base \(F\), isto é, encontrar escalares \(a,b\) tais que \r
\[\vec v=a\overrightarrow f_{1}+b\overrightarrow f_{2}. \r
Em coordenadas de E, isto é\r
(4,1)=a\,(1,1)+b\,(2,-1)=(\,a+2b,\;a-b\,). \r
Igualando componentes:\r
\begin{cases}\r
a+2b=4,\\\ a - b=1.
\end{cases}\r
Da segunda equação a=1+b\]. Substituindo na primeira:\r
\[(1+b)+2b=4\;\Rightarrow\;1+3b=4\;\Rightarrow\;3b=3\;\Rightarrow\;b=1,\]\r
logo \(a=1+1=2. \r
Portanto as coordenadas de \vec v na base F são \r
\boxed{[\,\vec v\,]_{F}=(2,1).}
Passo 5
Para decidir a orientação de F em relação a E, usamos o sinal de \det(A). Encontramos em
Passo 6
\det(A)=-3<0. \r
Determinante negativo significa que F é uma base levógira (orientação invertida em relação à padrão dextrógira).
Resposta
(a) F é linearmente independente. G é linearmente independente.