[ 1,0 ] Dados os vetores
\overrightarrow{M N}=(1,-3,1) \quad \text { e } \quad \overrightarrow{M P}=(1,1,4)
calcule a área do triângulo M N P.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \overrightarrow{MN}=(1,-3,1) e \overrightarrow{MP}=(1,1,4) e pede a área do triângulo MNP. Esse triângulo tem vértice comum em M e lados representados por esses dois vetores, então podemos usar a fórmula
\text{área} = \frac{1}{2}\bigl\|\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}\bigr\|á
em que \times é o produto vetorial e \|\cdot\| é a norma do vetor resultante.

Passo 2

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}. Usando
(a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3) =\bigl(a_2b_3 - a_3b_2,\;a_3b_1 - a_1b_3,\;a_1b_2 - a_2b_1\bigr),
temos
\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP} =( -3\cdot4 - 1\cdot1,\;1\cdot1 - 1\cdot4,\;1\cdot1 - (-3)\cdot1 ) =(-13,\,-3,\,4).

Passo 3

Encontrar a norma de (-13,-3,4):
\bigl\|(-13,-3,4)\bigr\| =\sqrt{(-13)^2 + (-3)^2 + 4^2} =\sqrt{169 + 9 + 16} =\sqrt{194}.

Passo 4

A área do triângulo é metade da área do paralelogramo dado pelo produto vetorial, logo
\text{área} = \frac{1}{2}\sqrt{194}.á

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{194}}{2}

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