[ 1,0 ] O ângulo entre os vetores unitários \vec{x} e \vec{y} é de \pi / 6 radianos. Calcular o ângulo entre \vec{x} e \vec{w}=3 \vec{x}-2 \vec{y}.

Passo 1

O enunciado diz que \vec{x} e \vec{y} são vetores unitários com ângulo \pi/6 entre si, e define \vec{w}=3\vec{x}-2\vec{y}. Queremos o ângulo \theta entre \vec{x} e \vec{w}. Para isso vamos usar produto escalar e norma de vetores, pois
\cos\theta = \frac{\vec{x}\cdot\vec{w}}{\|\vec{x}\|\;\|\vec{w}\|}.

Passo 2

Como \vec{x} e \vec{y} são unitários e o ângulo entre eles é \pi/6, temos
\vec{x}\cdot\vec{y} = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{x}\cdot\vec{w}:
\vec{x}\cdot\vec{w} = \vec{x}\cdot\bigl(3\vec{x}-2\vec{y}\bigr) = 3\,\vec{x}\cdot\vec{x} - 2\,\vec{x}\cdot\vec{y} = 3\cdot1 - 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 3 - \sqrt{3}.

Passo 4

Calcular a norma de \vec{w}:
\|\vec{w}\|^2 = \|(3\vec{x}-2\vec{y})\|^2 = 9\|\vec{x}\|^2 +4\|\vec{y}\|^2 -12\,\vec{x}\cdot\vec{y} = 9+4 -12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 13 -6\sqrt{3}.
Portanto
\|\vec{w}\| = \sqrt{13 -6\sqrt{3}}.

Passo 5

Agora usamos
\cos\theta = \frac{\vec{x}\cdot\vec{w}}{\|\vec{x}\|\;\|\vec{w}\|} = \frac{3-\sqrt{3}}{1\cdot\sqrt{13 -6\sqrt{3}}} = \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{13 -6\sqrt{3}}}.
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\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{13 -6\sqrt{3}}}\Bigr).

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{13 -6\sqrt{3}}}\Bigr).

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