[ 1,0 ] Sejam um triângulo qualquer A B C e o ponto P \in \overline{A B}.
(a) Mostrar que existem números reais \alpha e \beta tais que:
\overrightarrow{C P}=\alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B} \quad \text { para } \quad \alpha+\beta=1 .
(b) Escrever \alpha e \beta em termos das normas de \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A P} e \overrightarrow{P B}.

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo qualquer ABC e de um ponto P sobre o segmento \overline{AB}. Queremos mostrar que o vetor \overrightarrow{CP} pode ser escrito como combinação linear de \overrightarrow{CA} e \overrightarrow{CB} com coeficientes cuja soma vale 1, e depois expressar esses coeficientes em função das normas de \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AP} e \overrightarrow{PB}. O conteúdo aqui é coordenadas baricêntricas em vértices de triângulo.

Passo 2

Como P está em \overline{AB}, existe um único t\in[0,1] tal que
\overrightarrow{AP}=t\,\overrightarrow{AB}.
Isso significa que, em coordenadas,
P = A + t\,(B - A).

Passo 3

Agora escrevemos
\overrightarrow{CP} = P - C = \bigl(A - C\bigr) + t\bigl(B - A\bigr) = \overrightarrow{CA} + t\bigl(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}\bigr).
Agrupando termos,
\overrightarrow{CP} = (1 - t)\,\overrightarrow{CA} \;+\; t\,\overrightarrow{CB}.
Logo basta definir
\alpha = 1 - t,\quad \beta = t,
e de imediato \alpha+\beta=(1-t)+t=1, provando a parte (a).

Passo 4

Falta relacionar t com as normas dos vetores. Da definição \overrightarrow{AP}=t\,\overrightarrow{AB} vem
\bigl\|\overrightarrow{AP}\bigr\| = t\,\bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\| \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\bigl\|\overrightarrow{AP}\bigr\|}{\bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\|}.
Como \overline{AB} é particionado em \overline{AP}+\overline{PB}, temos também
\bigl\|\overrightarrow{PB}\bigr\| = \bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\| - \bigl\|\overrightarrow{AP}\bigr\| \;\Longrightarrow\; 1 - t = \frac{\bigl\|\overrightarrow{PB}\bigr\|}{\bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\|}.

Resposta

\alpha = 1 - t = \frac{\bigl\|\overrightarrow{PB}\bigr\|}{\bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\|}, \qquad \beta = t = \frac{\bigl\|\overrightarrow{AP}\bigr\|}{\bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\|},
e de fato \overrightarrow{CP} = \alpha\,\overrightarrow{CA} + \beta\,\overrightarrow{CB} com \alpha+\beta=1.

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