Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações
e
indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
{polinômios com coeficientes reais}, munido das operações usuais de funções.
Passo 1
O enunciado diz que
é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em
, e que as operações “
” e “
” são justamente a soma de funções e a multiplicação escalar usuais. O conteúdo é “espaço vetorial” e precisamos verificar todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
.
Passo 2
Verificamos primeiro o fechamento nas operações:
- Se
e , então
é um polinômio em
.
- Se
e , então
também fica em
.
Passo 3
Agora os axiomas relativos à soma em
:
1. Comutatividade: para quaisquer ,
1. Comutatividade: para quaisquer
porque a soma de números reais é comutativa.
2. Associatividade: para quaisquer ,
2. Associatividade: para quaisquer
pela associatividade da soma real.
3. Elemento neutro: o polinômio zero
3. Elemento neutro: o polinômio zero
satisfaz
para todo
.
4. Inverso aditivo: dado , o polinômio
tal que
satisfaz
4. Inverso aditivo: dado
Passo 4
E os axiomas envolvendo multiplicação escalar e soma:
1. Compatibilidade de escalares: para e
,
1. Compatibilidade de escalares: para
2. Elemento neutro escalar:
pois multiplicar por
não altera os coeficientes.
3. Distributividade em relação à soma de escalares: para ,
3. Distributividade em relação à soma de escalares: para
4. Distributividade em relação à soma de vetores: para
e
,
Resposta
Sim,
com as operações usuais de soma e multiplicação escalar é um espaço vetorial sobre
.