Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V, munido das operações \oplus e \odot indicadas, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
V=\mathscr{P}(\mathbb{R})= {polinômios com coeficientes reais}, munido das operações usuais de funções.

Passo 1

O enunciado diz que V=\mathscr{P}(\mathbb{R}) é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em \mathbb{R}, e que as operações “ \oplus” e “ \odot” são justamente a soma de funções e a multiplicação escalar usuais. O conteúdo é “espaço vetorial” e precisamos verificar todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}.

Passo 2

Verificamos primeiro o fechamento nas operações:
  • Se p(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i e q(x)=\sum_{i=0}^m b_i x^i, então
(p\oplus q)(x)=p(x)+q(x)=\sum_{i=0}^{\max(n,m)}(a_i+b_i)\,x^i
é um polinômio em \mathscr{P}(\mathbb{R}).
  • Se \alpha\in\mathbb{R} e p(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i, então
(\alpha\odot p)(x)=\alpha\,p(x)=\sum_{i=0}^n(\alpha\,a_i)\,x^i
também fica em \mathscr{P}(\mathbb{R}).

Passo 3

Agora os axiomas relativos à soma em V:
1. Comutatividade: para quaisquer p,q\in V,
p\oplus q=q\oplus p
porque a soma de números reais é comutativa.
2. Associatividade: para quaisquer p,q,r\in V,
(p\oplus q)\oplus r \;=\; p\oplus(q\oplus r)
pela associatividade da soma real.
3. Elemento neutro: o polinômio zero
0(x)=0
satisfaz p\oplus 0 = p para todo p.
4. Inverso aditivo: dado p, o polinômio -p tal que (-p)(x)=-p(x) satisfaz
p\oplus(-p)=0.

Passo 4

E os axiomas envolvendo multiplicação escalar e soma:
1. Compatibilidade de escalares: para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e p\in V,
\alpha\odot(\beta\odot p) = (\alpha\,\beta)\odot p.
2. Elemento neutro escalar:
1\odot p = p
pois multiplicar por 1\in\mathbb{R} não altera os coeficientes.
3. Distributividade em relação à soma de escalares: para \alpha,\beta\in\mathbb{R},
(\alpha+\beta)\odot p = (\alpha\odot p)\oplus(\beta\odot p).
4. Distributividade em relação à soma de vetores: para \alpha\in\mathbb{R} e p,q\in V,
\alpha\odot(p\oplus q) = (\alpha\odot p)\oplus(\alpha\odot q).

Resposta

Sim, V=\mathscr{P}(\mathbb{R}) com as operações usuais de soma e multiplicação escalar é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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