Suponha uma classe de 6 meninas e 10 meninos. Se uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente, encontre a probabilidade de,
(iii) pelo menos 1 menino

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • 6 meninas e 10 meninos, totalizando 16 alunos.
  • Uma comissão de 3 pessoas é escolhida aleatoriamente (todas as tripletas têm mesma chance).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que haja pelo menos 1 menino na comissão?

Passo 2

Ideia geral e estratégia mais simples: “pelo menos 1 menino” é o evento complementar de “nenhum menino” (ou seja, todas as 3 escolhidas são meninas). É quase sempre mais fácil calcular a probabilidade do complementar e subtrair de 1.
Antes disso precisamos contar o número total de comissões possíveis (espaço amostral). Como a ordem não importa (uma comissão é um conjunto), o número total de maneiras de escolher 3 pessoas dentre 16 é dado pela combinação
\binom{16}{3}=\frac{16!}{3!(16-3)!}.
Explicando a fórmula: \binom{n}{k} lê-se “n escolhe k” e conta quantas formas de escolher subconjuntos de k elementos entre n sem ordem; o fatorial n! é n\cdot(n-1)\cdots1.
Calculemos \binom{16}{3} sem calculadora, simplificando fatoriais:
\binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}.
Agora simplifica passo a passo:
\frac{16\cdot15\cdot14}{6}=\frac{16\cdot15\cdot14}{6}.
Podemos dividir 15 por 3 (parte de 6) e 6=3\cdot2. Uma forma rápida:
\frac{15}{3}=5,\quad \frac{14}{2}=7,
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\binom{16}{3}=16\cdot5\cdot7=16\cdot35=560.

Passo 3

Agora conte as maneiras de ocorrer o complementar “nenhum menino” — isto é, escolher as 3 pessoas todas entre as 6 meninas. Novamente usamos combinações:
\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}.
Calcule:
\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=\frac{6\cdot5\cdot4}{6}=6\cdot5\cdot4/6=5\cdot4=20.
Então há 20 comissões sem nenhum menino.

Passo 4

A probabilidade do complementar (nenhum menino) é o número de casos favoráveis sobre o total:
P(\text{nenhum menino})=\frac{\binom{6}{3}}{\binom{16}{3}}=\frac{20}{560}.
Simplificando a fração:
\frac{20}{560}=\frac{1}{28}.

Passo 5

Portanto a probabilidade pedida (“pelo menos 1 menino”) é
P(\text{pelo menos 1 menino})=1-P(\text{nenhum menino})=1-\frac{1}{28}=\frac{27}{28}.
Em decimal aproximado isso é \approx 0,9642857, ou seja, muito provável (cerca de 96{,}43\%) que haja pelo menos um menino.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, só para treinar): calcular a probabilidade somando os casos “exatamente 1 menino”, “exatamente 2 meninos” e “exatamente 3 meninos”. Por exemplo
P(\text{exatamente }k\\ \text{meninos})=\frac{\binom{10}{k}\binom{6}{3-k}}{\binom{16}{3}}
para k=1,2,3. Somando esses três termos obtém-se a mesma \dfrac{27}{28}. Isso é um exemplo da distribuição hipergeométrica (sorteio sem reposição).

Resposta

\dfrac{27}{28}
\approx 0,9642857

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