Suponha uma classe de 6 meninas e 10 meninos. Se uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente, encontre a probabilidade de,
(iii) pelo menos 1 menino
(iii) pelo menos 1 menino
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Há
meninas e meninos, totalizando alunos. - Uma comissão de
pessoas é escolhida aleatoriamente (todas as tripletas têm mesma chance). - Pergunta: qual a probabilidade de que haja pelo menos
menino na comissão?
Passo 2
Ideia geral e estratégia mais simples: “pelo menos
menino” é o evento complementar de “nenhum menino” (ou seja, todas as
escolhidas são meninas). É quase sempre mais fácil calcular a probabilidade do complementar e subtrair de
.
Antes disso precisamos contar o número total de comissões possíveis (espaço amostral). Como a ordem não importa (uma comissão é um conjunto), o número total de maneiras de escolher
pessoas dentre
é dado pela combinação
Explicando a fórmula:
lê-se “n escolhe k” e conta quantas formas de escolher subconjuntos de
elementos entre
sem ordem; o fatorial
é
.
Calculemos
sem calculadora, simplificando fatoriais:
Agora simplifica passo a passo:
Podemos dividir
por
(parte de
) e
. Uma forma rápida:
logo
Passo 3
Agora conte as maneiras de ocorrer o complementar “nenhum menino” — isto é, escolher as
pessoas todas entre as
meninas. Novamente usamos combinações:
Calcule:
Então há
comissões sem nenhum menino.
Passo 4
A probabilidade do complementar (nenhum menino) é o número de casos favoráveis sobre o total:
Simplificando a fração:
Passo 5
Portanto a probabilidade pedida (“pelo menos
menino”) é
Em decimal aproximado isso é
, ou seja, muito provável (cerca de
) que haja pelo menos um menino.
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, só para treinar): calcular a probabilidade somando os casos “exatamente 1 menino”, “exatamente 2 meninos” e “exatamente 3 meninos”. Por exemplo
para
. Somando esses três termos obtém-se a mesma
. Isso é um exemplo da distribuição hipergeométrica (sorteio sem reposição).