Suponha uma classe de 6 meninas e 10 meninos. Se uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente, encontre a probabilidade de,
(iv) exatamente duas meninas, serem selecionados.

Passo 1

O enunciado dá uma turma com 6 meninas e 10 meninos. Uma comissão de 3 pessoas é escolhida aleatoriamente. A pergunta (iv) é: qual a probabilidade de que exatamente duas meninas sejam selecionadas?
Informações relevantes fornecidas:
  • Número de meninas: 6.
  • Número de meninos: 10.
  • Tamanho da comissão: 3.
  • Queremos a probabilidade de escolher exatamente 2 meninas (e, consequentemente, 1 menino).

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): como todas as comissões de 3 pessoas são igualmente prováveis, a probabilidade pedida é
\text{probabilidade}=\frac{\text{número de comissões favoráveis}}{\text{número total de comissões}}.úõáúõ
“Comissão” é apenas uma escolha de 3 pessoas dentre 16 sem ordem, então usamos combinações para contar. Não vamos considerar ordem (A depois B é a mesma comissão que B depois A).

Passo 3

Lembrete sobre combinações (aula rápida): a combinação de n elementos tomados k a k é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=(n)(n-1)\cdots2\cdot1. Essa fórmula conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher k objetos entre n sem considerar ordem.
Exemplo rápido aplicado: para escolher 2 meninas dentre 6 usa-se
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=15.
Expliquei o cálculo sem expandir todo o fatorial para facilitar na prova: \binom{6}{2}=(6\cdot5)/(2).

Passo 4

Calcular o número de maneiras de escolher 1 menino dentre 10:
\binom{10}{1}=10,
pois escolher 1 dentre 10 é simplesmente 10 opções.

Passo 5

Calcular o número total de comissões de 3 pessoas entre os 16 alunos:
\binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as contas:
\frac{16\cdot15\cdot14}{6}=\frac{3360}{6}=560.
Portanto, existem 560 comissões possíveis no total.

Passo 6

Número de comissões favoráveis (exatamente 2 meninas e 1 menino) é o produto das escolhas independentes:
\binom{6}{2}\cdot\binom{10}{1}=15\cdot10=150.
Logo a probabilidade pedida é
\frac{150}{560}.
Simplificando a fração dividindo por 10:
\frac{150}{560}=\frac{15}{56}.
Se quiser uma aproximação decimal para interpretar: \dfrac{15}{56}\approx0,2679, ou seja cerca de 26{,}79\%.

Passo 7

Resumo prático para a prova: conte as maneiras favoráveis (escolher 2 dentre 6 e 1 dentre 10) e divida pelo total (escolher 3 dentre 16). Fazer a conta rápida de combinações usando as formas reduzidas como em Passo 3 e Passo 5 economiza tempo.

Resposta

\dfrac{15}{56}\approx0,2679

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