Suponha uma classe de 6 meninas e 10 meninos. Se uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente, encontre a probabilidade de,
(iv) exatamente duas meninas, serem selecionados.
(iv) exatamente duas meninas, serem selecionados.
Passo 1
O enunciado dá uma turma com
meninas e
meninos. Uma comissão de
pessoas é escolhida aleatoriamente. A pergunta (iv) é: qual a probabilidade de que exatamente duas meninas sejam selecionadas?
Informações relevantes fornecidas:
- Número de meninas:
. - Número de meninos:
. - Tamanho da comissão:
. - Queremos a probabilidade de escolher exatamente
meninas (e, consequentemente, menino).
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): como todas as comissões de
pessoas são igualmente prováveis, a probabilidade pedida é
“Comissão” é apenas uma escolha de
pessoas dentre
sem ordem, então usamos combinações para contar. Não vamos considerar ordem (A depois B é a mesma comissão que B depois A).
Passo 3
Lembrete sobre combinações (aula rápida): a combinação de
elementos tomados
a
é
onde
(fatorial) é
. Essa fórmula conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher
objetos entre
sem considerar ordem.
Exemplo rápido aplicado: para escolher
meninas dentre
usa-se
Expliquei o cálculo sem expandir todo o fatorial para facilitar na prova:
.
Passo 4
Calcular o número de maneiras de escolher
menino dentre
:
pois escolher
dentre
é simplesmente
opções.
Passo 5
Calcular o número total de comissões de
pessoas entre os
alunos:
Fazendo as contas:
Portanto, existem
comissões possíveis no total.
Passo 6
Número de comissões favoráveis (exatamente
meninas e
menino) é o produto das escolhas independentes:
Logo a probabilidade pedida é
Simplificando a fração dividindo por
:
Se quiser uma aproximação decimal para interpretar:
, ou seja cerca de
.
Passo 7
Resumo prático para a prova: conte as maneiras favoráveis (escolher
dentre
e
dentre
) e divida pelo total (escolher
dentre
). Fazer a conta rápida de combinações usando as formas reduzidas como em Passo 3 e Passo 5 economiza tempo.