1.41 Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 .
a) Se A tem duas linhas idênticas, então A^{2} tem duas linhas idênticas.
b) Se A tem uma linha ou uma coluna de zeros, então necessariamente A^{2} tem, respectivamente, uma linha ou uma coluna de zeros.
c) Se A tem uma linha ou uma coluna de zeros, então A^{2}=A.
d) Se A é uma matriz elementar, então A^{2} é uma matriz elementar.
e) Se \Theta é a matriz nula de ordem 2, então existe A \neq \Theta, tal que A^{2}=\Theta.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem 2 e pede para analisar cinco afirmações (a)–(e) relativas a A^{2}. Vou listar claramente o que cada item exige:
  • (a) Verificar se, sempre que A tem duas linhas idênticas, então também A^{2} terá duas linhas idênticas.
  • (b) Verificar se, sempre que A tem uma linha de zeros ou uma coluna de zeros, então A^{2} tem, respectivamente, uma linha de zeros ou uma coluna de zeros.
  • (c) Verificar se, sempre que A tem uma linha de zeros ou uma coluna de zeros, então necessariamente A^{2}=A.
  • (d) Verificar se, sempre que A é uma matriz elementar, então A^{2} é também uma matriz elementar.
  • (e) Verificar se existe uma matriz A\neq\Theta (onde \Theta é a matriz nula de ordem 2) tal que A^{2}=\Theta.
Informações relevantes dadas: A é 2\times2. As respostas pedem “sempre” (provar para todo A com a propriedade) ou “existência” (mostrar exemplo). A resolução deve mostrar provas gerais quando for afirmação verdadeira, e contraexemplo quando for falsa.

Passo 2

Parte (a). Mostrar que: se A tem duas linhas idênticas então A^{2} tem duas linhas idênticas.
Primeiro, relembrar um fato útil sobre multiplicação de matrizes (isso é importante para a prova): a i-ésima linha do produto AB é a i-ésima linha de A multiplicada pela matriz B. Em símbolos, se \text{linha}_i(A) denota a i-ésima linha (vetor linha), então
\text{linha}_i(AB)=\text{linha}_i(A)\,B.
Isto é fácil de ver: cada entrada da linha i de AB é soma de produtos entre entradas da linha i de A e colunas de B.
Agora suponha que A tem duas linhas idênticas. Em 2\times2, escrevemos
A=\begin{pmatrix} r_1 \\[4pt] r_1 \end{pmatrix},
onde r_1 é um vetor linha de duas componentes (ou seja, as linhas 1 e 2 coincidem). Então, usando o fato acima,
\text{linha}_1(A^{2})=\text{linha}_1(A)\,A=r_1 A, \qquad \text{linha}_2(A^{2})=\text{linha}_2(A)\,A=r_1 A.
Como ambas são iguais a r_1 A, as duas linhas de A^{2} são iguais. Portanto (a) é verdadeira.
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: se
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},
então
A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt]3 & 6\end{pmatrix},
que tem as duas linhas iguais, como esperado.]

Passo 3

Parte (b). Mostrar que: se A tem uma linha de zeros então A^{2} tem uma linha de zeros; e se A tem uma coluna de zeros então A^{2} tem uma coluna de zeros.
Novamente usamos as fórmulas de linhas e colunas do produto:
  • A i-ésima linha de AB é \text{linha}_i(A)\,B.
  • A j-ésima coluna de AB é A\,\text{coluna}_j(B).
Caso 1: A tem a i-ésima linha nula, ou seja \text{linha}_i(A)=0. Então
\text{linha}_i(A^{2})=\text{linha}_i(A)\,A=0\cdot A=0,
logo A^{2} tem a i-ésima linha nula. Isso prova a parte da linha de zeros.
Caso 2: A tem a j-ésima coluna nula, ou seja \text{coluna}_j(A)=0. Então
\text{coluna}_j(A^{2})=A\,\text{coluna}_j(A)=A\cdot 0=0,
portanto A^{2} tem a j-ésima coluna nula. Isso prova a parte da coluna de zeros.
Esses são argumentos diretos e gerais — portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

Parte (c). Mostrar que: se A tem uma linha ou uma coluna de zeros, então A^{2}=A. Avaliar se isso vale sempre.
Isto equivale a perguntar se a presença de uma linha (ou coluna) nula força A a ser idempotente ( A^{2}=A). Em geral isto NÃO é verdade: ter uma linha nula ou coluna nula não obriga A^{2} a coincidir com A.
Basta um contraexemplo simples. Tome
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui a primeira coluna de A é nula: \text{coluna}_1(A)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}. Vamos calcular A^{2}:
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Então A^{2}=\Theta, que claramente não é igual a A. Logo a afirmação é falsa: ter uma linha ou coluna de zeros não implica A^{2}=A.
Portanto (c) é falsa.]

Passo 5

Parte (d). Mostrar que: se A é matriz elementar, então A^{2} é matriz elementar. Avaliar se isto vale sempre.
Primeiro, recordar o que é uma matriz elementar (definição usual): uma matriz elementar é obtida aplicando-se uma única operação elementar de linha à matriz identidade. Em ordem 2, as operações elementares possíveis são:
  • trocar duas linhas (matriz de troca),
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo k (matriz diagonal com k em uma posição e 1 na outra),
  • somar um múltiplo de uma linha a outra (matriz triangular unipotente).
Algumas observações: a identidade I não é obtida por uma única operação elementar (é obtida por zero operações), então I normalmente NÃO é considerada uma matriz elementar no sentido estrito de “uma única operação aplicada a I”.
Agora um contraexemplo clássico. Considere a matriz que troca linhas:
E=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Isto é uma matriz elementar (obtida trocando linha 1 e linha 2 em I). Calcule E^{2}:
E^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I.
Como I não é, em geral, uma matriz elementar (não resulta de uma única operação elemental aplicada a I), isto mostra que nem sempre A^{2} é elementar quando A o é. Portanto a afirmação é falsa.
Observação adicional para clareza: existem matrizes elementares cujo quadrado ainda é elementar (por exemplo, matriz que soma uma linha à outra com fator a: \begin{pmatrix}1 & a\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, cujo quadrado é \begin{pmatrix}1 & 2a\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, também do tipo “somar múltiplo de linha” e portanto elementar). Mas como a propriedade não vale para todos os tipos (o caso da troca mostra), a afirmação geral é falsa.]

Passo 6

Parte (e). Mostrar que: existe A\neq\Theta tal que A^{2}=\Theta?
Procuramos uma matriz não nula cujo quadrado seja a matriz nula. Essas são chamadas matrizes nilpotentes de índice 2. Em 2\times2 há exemplos simples. Tome
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
que já usamos antes. Calculando:
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}=\Theta.
Aqui A\neq\Theta (pois tem uma entrada 1), e A^{2}=\Theta. Portanto existe, e a afirmação é verdadeira.
Intuição: matrizes que representam uma transformação linear que não é zero mas que aplicada duas vezes dá zero (por exemplo, enviar um vetor basis e_2 para e_1 e enviar e_1 para zero) são exatamente esses exemplos.]

Resposta

a) Verdadeira.
b) Verdadeira.
c) Falsa.
d) Falsa.
e) Verdadeira.

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