1.41 Seja
uma matriz quadrada de ordem 2 .
a) Se
tem duas linhas idênticas, então
tem duas linhas idênticas.
b) Se
tem uma linha ou uma coluna de zeros, então necessariamente
tem, respectivamente, uma linha ou uma coluna de zeros.
c) Se
tem uma linha ou uma coluna de zeros, então
.
d) Se
é uma matriz elementar, então
é uma matriz elementar.
e) Se
é a matriz nula de ordem 2, então existe
, tal que
.
a) Se
b) Se
c) Se
d) Se
e) Se
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem 2 e pede para analisar cinco afirmações (a)–(e) relativas a
. Vou listar claramente o que cada item exige:
- (a) Verificar se, sempre que
tem duas linhas idênticas, então também terá duas linhas idênticas. - (b) Verificar se, sempre que
tem uma linha de zeros ou uma coluna de zeros, então tem, respectivamente, uma linha de zeros ou uma coluna de zeros. - (c) Verificar se, sempre que
tem uma linha de zeros ou uma coluna de zeros, então necessariamente . - (d) Verificar se, sempre que
é uma matriz elementar, então é também uma matriz elementar. - (e) Verificar se existe uma matriz
(onde é a matriz nula de ordem 2) tal que .
Informações relevantes dadas:
é
. As respostas pedem “sempre” (provar para todo
com a propriedade) ou “existência” (mostrar exemplo). A resolução deve mostrar provas gerais quando for afirmação verdadeira, e contraexemplo quando for falsa.
Passo 2
Parte (a). Mostrar que: se
tem duas linhas idênticas então
tem duas linhas idênticas.
Primeiro, relembrar um fato útil sobre multiplicação de matrizes (isso é importante para a prova): a i-ésima linha do produto
é a i-ésima linha de
multiplicada pela matriz
. Em símbolos, se
denota a i-ésima linha (vetor linha), então
Isto é fácil de ver: cada entrada da linha i de
é soma de produtos entre entradas da linha i de
e colunas de
.
Agora suponha que
tem duas linhas idênticas. Em
, escrevemos
onde
é um vetor linha de duas componentes (ou seja, as linhas 1 e 2 coincidem). Então, usando o fato acima,
Como ambas são iguais a
, as duas linhas de
são iguais. Portanto (a) é verdadeira.
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: se
então
que tem as duas linhas iguais, como esperado.]
Passo 3
Parte (b). Mostrar que: se
tem uma linha de zeros então
tem uma linha de zeros; e se
tem uma coluna de zeros então
tem uma coluna de zeros.
Novamente usamos as fórmulas de linhas e colunas do produto:
- A i-ésima linha de
é . - A j-ésima coluna de
é .
Caso 1:
tem a i-ésima linha nula, ou seja
. Então
logo
tem a i-ésima linha nula. Isso prova a parte da linha de zeros.
Caso 2:
tem a j-ésima coluna nula, ou seja
. Então
portanto
tem a j-ésima coluna nula. Isso prova a parte da coluna de zeros.
Esses são argumentos diretos e gerais — portanto (b) é verdadeira.
Passo 4
Parte (c). Mostrar que: se
tem uma linha ou uma coluna de zeros, então
. Avaliar se isso vale sempre.
Isto equivale a perguntar se a presença de uma linha (ou coluna) nula força
a ser idempotente (
). Em geral isto NÃO é verdade: ter uma linha nula ou coluna nula não obriga
a coincidir com
.
Basta um contraexemplo simples. Tome
Aqui a primeira coluna de
é nula:
. Vamos calcular
:
Então
, que claramente não é igual a
. Logo a afirmação é falsa: ter uma linha ou coluna de zeros não implica
.
Portanto (c) é falsa.]
Passo 5
Parte (d). Mostrar que: se
é matriz elementar, então
é matriz elementar. Avaliar se isto vale sempre.
Primeiro, recordar o que é uma matriz elementar (definição usual): uma matriz elementar é obtida aplicando-se uma única operação elementar de linha à matriz identidade. Em ordem 2, as operações elementares possíveis são:
- trocar duas linhas (matriz de troca),
- multiplicar uma linha por um escalar não nulo
(matriz diagonal com em uma posição e na outra), - somar um múltiplo de uma linha a outra (matriz triangular unipotente).
Algumas observações: a identidade
não é obtida por uma única operação elementar (é obtida por zero operações), então
normalmente NÃO é considerada uma matriz elementar no sentido estrito de “uma única operação aplicada a
”.
Agora um contraexemplo clássico. Considere a matriz que troca linhas:
Isto é uma matriz elementar (obtida trocando linha 1 e linha 2 em
). Calcule
:
Como
não é, em geral, uma matriz elementar (não resulta de uma única operação elemental aplicada a
), isto mostra que nem sempre
é elementar quando
o é. Portanto a afirmação é falsa.
Observação adicional para clareza: existem matrizes elementares cujo quadrado ainda é elementar (por exemplo, matriz que soma uma linha à outra com fator
:
, cujo quadrado é
, também do tipo “somar múltiplo de linha” e portanto elementar). Mas como a propriedade não vale para todos os tipos (o caso da troca mostra), a afirmação geral é falsa.]
Passo 6
Parte (e). Mostrar que: existe
tal que
?
Procuramos uma matriz não nula cujo quadrado seja a matriz nula. Essas são chamadas matrizes nilpotentes de índice 2. Em
há exemplos simples. Tome
que já usamos antes. Calculando:
Aqui
(pois tem uma entrada
), e
. Portanto existe, e a afirmação é verdadeira.
Intuição: matrizes que representam uma transformação linear que não é zero mas que aplicada duas vezes dá zero (por exemplo, enviar um vetor basis
para
e enviar
para zero) são exatamente esses exemplos.]
Resposta
a) Verdadeira.
b) Verdadeira.
c) Falsa.
d) Falsa.
e) Verdadeira.
b) Verdadeira.
c) Falsa.
d) Falsa.
e) Verdadeira.