Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\sqrt[4]{\frac{x^{3}+1}{x^{3}-1}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\sqrt[4]{\frac{x^{3}+1}{x^{3}-1}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é uma raiz de índice 4 (par) aplicada ao quociente \dfrac{x^{3}+1}{x^{3}-1}.
  • Devem ser respeitadas as condições naturais de domínio: o radicando da raiz de índice par deve ser maior ou igual a zero, e o denominador do quociente não pode ser zero.

Passo 2

Escrever matematicamente as condições que garantem que f(x) seja bem definida (valor real):
\frac{x^{3}+1}{x^{3}-1}\ge 0 \qquad\text{e}\qquad x^{3}-1\neq 0.
A segunda condição diz que x^{3}\neq 1, isto é, x\neq 1. A primeira condição é uma inequação de sinal que vamos resolver.

Passo 3

Fatorizar numerador e denominador para facilitar a análise de sinais:
x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1), \qquad x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Observar que as quadráticas têm discriminante negativo:
\Delta_{1}=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=-3<0, \qquad \Delta_{2}=1^{2}-4\cdot1\cdot1=-3<0,
portanto x^{2}-x+1>0 e x^{2}+x+1>0 para todo x\in\mathbb{R}. Isso significa que os sinais de x^{3}+1 e x^{3}-1 são determinados apenas pelos fatores lineares x+1 e x-1, respectivamente.

Passo 4

Como os fatores quadráticos são sempre positivos, a inequação original é equivalente a
\frac{x+1}{x-1}\ge 0, \qquad x\neq 1.
(Os fatores positivos não alteram o sinal da razão, por isso podemos simplificar dessa forma.) Agora resolvemos a inequação de sinal da fração \dfrac{x+1}{x-1}.

Passo 5

Determinar os pontos críticos da fração: zeros e polos ocorrem em x=-1 e x=1. Dividir a reta em intervalos e analisar o sinal:
  • Para x>1: x+1>0 e x-1>0 \Rightarrow \dfrac{x+1}{x-1}>0. Como o quociente é positivo, o radicando é \ge0 e x\neq1 é satisfeito; então todos x>1 são permitidos.
  • Para -1<x<1: x+1>0 e x-1<0 \Rightarrow \dfrac{x+1}{x-1}<0. Aqui o radicando é negativo, proibido por causa da raiz de índice par; portanto nenhum x neste intervalo pertence ao domínio.
  • Para x<-1: x+1<0 e x-1<0 \Rightarrow \dfrac{x+1}{x-1}>0. O quociente é positivo, logo esses x são permitidos.
Além disso, em x=-1 o numerador x^{3}+1 é zero, então o radicando vale 0 (o que é permitido para raiz de índice par) e x=-1 não anula o denominador (pois (-1)^{3}-1=-2\neq0), portanto x=-1 pertence ao domínio. Em x=1 o denominador anula-se, então x=1 deve ser excluído.

Passo 6

Juntando os intervalos permitidos, o domínio da função é
(-\infty,-1]\cup(1,\infty).

Resposta

(-\infty,-1]\cup(1,\infty)

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