Determine o domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é uma raiz de índice
(par) aplicada ao quociente . - Devem ser respeitadas as condições naturais de domínio: o radicando da raiz de índice par deve ser maior ou igual a zero, e o denominador do quociente não pode ser zero.
Passo 2
Escrever matematicamente as condições que garantem que
seja bem definida (valor real):
A segunda condição diz que
, isto é,
. A primeira condição é uma inequação de sinal que vamos resolver.
Passo 3
Fatorizar numerador e denominador para facilitar a análise de sinais:
Observar que as quadráticas têm discriminante negativo:
portanto
e
para todo
. Isso significa que os sinais de
e
são determinados apenas pelos fatores lineares
e
, respectivamente.
Passo 4
Como os fatores quadráticos são sempre positivos, a inequação original é equivalente a
(Os fatores positivos não alteram o sinal da razão, por isso podemos simplificar dessa forma.) Agora resolvemos a inequação de sinal da fração
.
Passo 5
Determinar os pontos críticos da fração: zeros e polos ocorrem em
e
. Dividir a reta em intervalos e analisar o sinal:
-
Para
: e . Como o quociente é positivo, o radicando é e é satisfeito; então todos são permitidos. -
Para
: e . Aqui o radicando é negativo, proibido por causa da raiz de índice par; portanto nenhum neste intervalo pertence ao domínio. -
Para
: e . O quociente é positivo, logo esses são permitidos.
Além disso, em
o numerador
é zero, então o radicando vale
(o que é permitido para raiz de índice par) e
não anula o denominador (pois
), portanto
pertence ao domínio. Em
o denominador anula-se, então
deve ser excluído.
Passo 6
Juntando os intervalos permitidos, o domínio da função é