41 O valor de \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2}+2}{x} \operatorname{sen}\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right) é
a) 0
b) \frac{1}{2}
c) 1
d) 2
e) +\infty

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}+2}{x}\,\sin\!\Bigl(\frac{x}{x^{2}+1}\Bigr).
O conteúdo envolvido é limite de função que mistura razão de polinômios e função trigonométrica para argumento que tende a zero. Vamos usar a simplificação algébrica e a expansão de \sin(u) para u pequeno.

Passo 2

Reescrevendo o fator racional temos
\frac{2x^{2}+2}{x}=2x+\frac{2}{x}.
Assim a expressão a estudar fica
(2x+\tfrac{2}{x})\;\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{x^{2}+1}\Bigr).

Passo 3

Observamos que, quando x\to+\infty,
\frac{x}{x^{2}+1}\longrightarrow0.
Para argumentos u próximos de zero vale a aproximação \sin(u)\sim u. Logo
\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{x^{2}+1}\Bigr)\sim \frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Substituindo a aproximação obtemos
(2x+\tfrac{2}{x})\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{x^{2}+1}\Bigr)\sim (2x+\tfrac{2}{x})\;\frac{x}{x^{2}+1}.
Como
\frac{x}{x^{2}+1}=\frac1x-\frac1{x^{3}}+O\!\bigl(x^{-5}\bigr),
fazendo o produto
(2x+\tfrac{2}{x})\Bigl(\frac1x-\frac1{x^{3}}+O(x^{-5})\Bigr) =2 +O(x^{-4})
e, portanto, o limite vale 2.

Resposta

d) 2

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