Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}. Se T(2,1)=(1,1,1) e T(-1,0)=(0,-2,1) então T(1,-5) é:
Escolha uma opção:
a. (-1,13,-8)
b. (1,-13,8)
c. (5,-17,16)
d. (-5,17,-16)
e. (-5,-13,-8)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa
T(2,1) = (1,1,1), \quad T(-1,0) = (0,-2,1).
Pede-se T(1,-5). O conteúdo principal é usar a linearidade de T escrevendo (1,-5) como combinação linear de (2,1) e (-1,0).

Passo 2

Suponha
(1,-5) = a\,(2,1) + b\,(-1,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2a - b = 1,\\\ a = -5. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem
a = -5.
Substituindo na primeira:
2(-5) - b = 1 \;\Longrightarrow\; -10 - b = 1 \;\Longrightarrow\; b = -11.

Passo 4

Pela linearidade de T,
T(1,-5) = a\,T(2,1) + b\,T(-1,0) = -5\,(1,1,1) + (-11)\,(0,-2,1).
Calculemos:
-5\,(1,1,1) = (-5,-5,-5), \quad -11\,(0,-2,1) = (0,22,-11),
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T(1,-5) = (-5,-5,-5) + (0,22,-11) = (-5,17,-16).

Passo 5

Observando as alternativas, (-5,17,-16) corresponde à letra (d).

Resposta

(d) (-5,17,-16)

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