C: x^{2}-6 x y+y^{2}+4 \sqrt{2} x-12 \sqrt{2} y-8=0
(a) Coloque a equação de C na forma matricial e determine se C é uma parábola, hipérbole ou elipse.
(b) Fazendo as mudanças adequadas de sistemas de coordenadas, encontre uma equação reduzida para C.
Dados: Se A=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\\\ -3 & 1\end{array}\right), então X=\binom{1}{1} é autovetor com autovalor \lambda=-2.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
x^{2}-6xy+y^{2}+4\sqrt{2}\,x-12\sqrt{2}\,y-8=0
e pede: (a) escrever na forma matricial e classificar a cônica; (b) achar a equação reduzida por mudança de coordenadas. Vamos usar teoria de matrizes simétricas, autovalores e autovetores, rotação ortonormal e completar quadrados.
Para classificar, calculamos \det A=1\cdot1-(-3)^{2}=-8<0. Como A tem determinante negativo e, portanto, autovalores de sinais opostos, a curva é uma hipérbole.
Passo 4
Diagonalizamos A. A equação característica \det(A-\lambda I)=0 dá autovalores
\lambda_{1}=-2,\quad \lambda_{2}=4.
Autovetor de \lambda_{1}=-2 é \bigl(1,1\bigr) e de \lambda_{2}=4 é \bigl(1,-1\bigr). Normalizando e montando a rotação ortonormal, definimos