Questão 3 (10 pontos). Considere a cônica
C: x^{2}-6 x y+y^{2}+4 \sqrt{2} x-12 \sqrt{2} y-8=0
(a) Coloque a equação de C na forma matricial e determine se C é uma parábola, hipérbole ou elipse.
(b) Fazendo as mudanças adequadas de sistemas de coordenadas, encontre uma equação reduzida para C.
Dados: Se A=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\\\ -3 & 1\end{array}\right), então X=\binom{1}{1} é autovetor com autovalor \lambda=-2.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^{2}-6xy+y^{2}+4\sqrt{2}\,x-12\sqrt{2}\,y-8=0
e pede: (a) escrever na forma matricial e classificar a cônica; (b) achar a equação reduzida por mudança de coordenadas. Vamos usar teoria de matrizes simétricas, autovalores e autovetores, rotação ortonormal e completar quadrados.

Passo 2

Colocamos em forma matricial. Seja
X=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}1 & -3\\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}4\sqrt{2}\\\ -12\sqrt{2}\end{pmatrix}, \quad c=-8.
Então a cônica é
X^{T}AX \;+\;B^{T}X\;+\;c\;=\;0.

Passo 3

Para classificar, calculamos \det A=1\cdot1-(-3)^{2}=-8<0. Como A tem determinante negativo e, portanto, autovalores de sinais opostos, a curva é uma hipérbole.

Passo 4

Diagonalizamos A. A equação característica \det(A-\lambda I)=0 dá autovalores
\lambda_{1}=-2,\quad \lambda_{2}=4.
Autovetor de \lambda_{1}=-2 é \bigl(1,1\bigr) e de \lambda_{2}=4 é \bigl(1,-1\bigr). Normalizando e montando a rotação ortonormal, definimos
P=\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
que satisfaz
P^{T}AP=\begin{pmatrix}-2&0\\\ 0&4\end{pmatrix}.
Introduzimos as novas coordenadas (u,v) por
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =P\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}.

Passo 5

Transformamos o termo linear:
B' \;=\;P^{T}B \;=\;\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\sqrt2\\\ -12\sqrt2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-8\\\ 16\end{pmatrix}.
Em (u,v) a equação fica
-2\,u^{2}+4\,v^{2}\;-\;8\,u\;+\;16\,v\;-\;8\;=\;0.

Passo 6

Agora completamos quadrados em u e v:
-2\bigl(u^{2}+4u\bigr) +4\bigl(v^{2}+4v\bigr) -8=0.
Escrevendo
u^{2}+4u=(u+2)^{2}-4, \quad v^{2}+4v=(v+2)^{2}-4,
temos
-2\bigl((u+2)^{2}-4\bigr) +4\bigl((v+2)^{2}-4\bigr) -8=0
\Longrightarrow -2(u+2)^{2}+8 +4(v+2)^{2}-16 -8=0
\Longrightarrow -2(u+2)^{2}+4(v+2)^{2}-16=0
\Longrightarrow \frac{4(v+2)^{2}-2(u+2)^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(v+2)^{2}}{4}-\frac{(u+2)^{2}}{8}=1.

Resposta

A cônica é uma hipérbole e, nas coordenadas
u=\tfrac{x+y}{\sqrt2},\quad v=\tfrac{x-y}{\sqrt2},
sua equação reduzida é
\frac{(v+2)^{2}}{4}\;-\;\frac{(u+2)^{2}}{8}\;=\;1.

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