44 Considere a função \quad f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^{2}-c & \text { se } x \leq c \\\ x & \text {, se } x>c\end{array}\right. em que c \in \mathbb{R}. O conjunto de todos os valores de c, para os quais f é contínua, é
a) \{0,2\}
b) [0,2]
c) ]-\infty, 0] \cup[2,+\infty[
d) ]-\infty, 0[\cup] 0,2[\cup] 2,+\infty[
e) \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado define uma função por partes dependendo do parâmetro c\in\mathbb{R}\): \[f(x)= \begin{cases} x^{2}-c, & x\le c,\\\ x, & x>c. \end{cases}
Como cada ramo é um polinômio, eles são contínuos em seus domínios internos. Logo, a única possível descontinuidade ocorre em (x=c], que é o ponto de transição entre os dois ramos.

Passo 2

Para testar a continuidade em x=c, calculamos o limite pela esquerda, o valor de f\text{(c)} e o limite pela direita:
\lim_{x\to c^-}f(x)=c^2-c, \quad f\text{(c)}=c^2-c, \quad \lim_{x\to c^+}f(x)=c.
A condição de continuidade é
c^2-c = c \quad\Longrightarrow\quad c^2-2c=0 \quad\Longrightarrow\quad c(c-2)=0.

Passo 3

Da equação c(c-2)=0 obtemos as soluções
c=0 \quad\text{ou}\quad c=2.
Portanto, somente para c=0 ou c=2 a função f é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

(a) \{0,2\}

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