Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
\int_{1}^{\pi / 2} \operatorname{sec} x . d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral
\int_{1}^{\pi/2} \operatorname{sec} x \, dx,
onde \operatorname{sec} x = 1/\cos x. O conteúdo aqui é “integrais impróprias” do tipo em que o integrando fica não definido (ou cresce sem limite) em um ponto do intervalo de integração.

Passo 2

Verificamos o comportamento de \operatorname{sec} x nos extremos do intervalo. Em x=1 não há problema, pois \cos(1)\neq0. Porém em
x = \frac{\pi}{2}
temos \cos(\pi/2)=0, logo \operatorname{sec} x não está definida em x=\pi/2. Isso já caracteriza uma descontinuidade do integrando exatamente no limite superior.

Passo 3

Para ver que a função fica “infinita” ao se aproximar de \pi/2, note que, ao aproximar x\to\pi/2^-,
\cos x \;\longrightarrow\; 0^+ \quad\implies\quad \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x} \;\longrightarrow\; +\infty.
Portanto, o integrando cresce sem limite quando x se aproxima de \pi/2. Por isso a integral é definida como
\int_{1}^{\pi/2} \operatorname{sec} x \, dx = \lim_{t\to(\pi/2)^-} \int_{1}^{t} \operatorname{sec} x \, dx,
caracterizando-a como imprópria.

Resposta

A integral é imprópria porque \operatorname{sec} x apresenta descontinuidade e tende a +\infty quando x\to\pi/2, que é o limite superior do intervalo.

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