Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral
onde
. O conteúdo aqui é “integrais impróprias” do tipo em que o integrando fica não definido (ou cresce sem limite) em um ponto do intervalo de integração.
Passo 2
Verificamos o comportamento de
nos extremos do intervalo. Em
não há problema, pois
. Porém em
temos
, logo
não está definida em
. Isso já caracteriza uma descontinuidade do integrando exatamente no limite superior.
Passo 3
Para ver que a função fica “infinita” ao se aproximar de
, note que, ao aproximar
,
Portanto, o integrando cresce sem limite quando
se aproxima de
. Por isso a integral é definida como
caracterizando-a como imprópria.
Resposta
A integral é imprópria porque
apresenta descontinuidade e tende a
quando
, que é o limite superior do intervalo.