Sejam A e B eventos com P(A) \frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4} e P(A \cup B)=\frac{1}{2}. Encontre
P\left(A \cap B^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá as probabilidades dos eventos e pede uma probabilidade envolvendo o complemento. Informações fornecidas:
  • P(A)=\dfrac{1}{3}.
  • P(B)=\dfrac{1}{4}.
  • P(A\cup B)=\dfrac{1}{2}.
  • O que se pede: P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr).
Observação: aqui B^{\circ} será entendido como o complemento de B (ou seja, o evento "não B"), que em notação comum também é escrito B^{c}.

Passo 2

Usaremos a fórmula da união de dois eventos (princípio da inclusão-exclusão). A fórmula diz:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Explicando cada termo:
  • P(A\cup B) é a probabilidade de ocorrer A ou B (ou ambos).
  • P(A) e P(B) são as probabilidades individuais.
  • P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem ambos simultaneamente.
    A fórmula corrige a soma P(A)+P(B) subtraindo a interseção, que foi contada duas vezes.

Passo 3

Isolando P(A\cap B) na fórmula:
P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).
Substituindo os números dados:
P(A\cap B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}.
Agora fazemos a operação com denominador comum 12:
\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12},\qquad \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12},\qquad \dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}.
Logo
P(A\cap B)=\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}-\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{12}.

Passo 4

Para obter P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr) usamos a decomposição do evento A em duas partes disjuntas:
A=(A\cap B)\cup\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr),
e como essas duas partes são disjuntas,
P(A)=P(A\cap B)+P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr).
Isolando a quantidade desejada:
P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr)=P(A)-P(A\cap B).
Substituindo os valores já conhecidos:
P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}.
Usando denominador comum 12:
\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12},
portanto
P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr)=\dfrac{4}{12}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados