Exercício 01: Encontre uma solução para as seguintes equações diferenciais lineares de
ordem:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução para a equação diferencial
Informações dadas e o que se deseja:
- É uma equação diferencial ordinária de
ordem, homogênea e com coeficientes constantes. - A incógnita é a função
(ou seja, quer‑se em função de ). - Objetivo: obter a solução geral (ou uma família de soluções) que satisfaça essa igualdade para todo
.
Passo 2
Ideia clássica (método da equação característica): tentar uma solução da forma exponencial
onde
é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Explico por que escolhemos isso: derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial, o que transforma a equação diferencial com coeficientes constantes em uma equação algébrica para
.
Substituindo
em
temos:
-
, -
.
Substituindo:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica
Passo 3
Resolver a equação característica:
portanto as raízes são
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (essa propriedade vem do princípio da superposição: soma de soluções é solução).
Aplicando aqui:
com
(ou complexos, dependendo do contexto).
Passo 4
Vamos explicar por que essa forma funciona: a equação é linear e homogênea, então qualquer combinação linear de soluções individuais também é solução. As funções
e
são soluções individuais porque substituindo cada uma na equação diferencial a igualdade é satisfeita (veremos isso no próximo passo). Assim
é a solução geral.
Passo 5
Verificação direta (só para ficar seguro): tome
.
-
. -
.
Substituindo em
:
logo a identidade é satisfeita para todo
. Portanto
é de fato a solução geral.
Passo 6
(Alternativa didática) Outro caminho: reduzir a ordem. Defina
. Então
e a equação vira
uma equação diferencial de primeira ordem. Resolver
por separação ou observação:
implica
, integrando dá
e assim
. Como
, integra-se novamente:
. É a mesma forma que encontramos antes, com
e
.