Exercício 01: Encontre uma solução para as seguintes equações diferenciais lineares de 2{ }^{\text {a }} ordem:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução para a equação diferencial
y''-y'=0.
Informações dadas e o que se deseja:
  • É uma equação diferencial ordinária de 2^{\text{a}} ordem, homogênea e com coeficientes constantes.
  • A incógnita é a função y(x) (ou seja, quer‑se y em função de x).
  • Objetivo: obter a solução geral (ou uma família de soluções) que satisfaça essa igualdade para todo x.

Passo 2

Ideia clássica (método da equação característica): tentar uma solução da forma exponencial
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Explico por que escolhemos isso: derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial, o que transforma a equação diferencial com coeficientes constantes em uma equação algébrica para r.
Substituindo y=e^{r x} em \;y''-y'=0\; temos:
  • \;y'(x)=r e^{r x},
  • \;y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo:
r^{2} e^{r x} - r e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica
r^{2}-r=0.

Passo 3

Resolver a equação característica:
r^{2}-r = r(r-1)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=0,\qquad r_{2}=1.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (essa propriedade vem do princípio da superposição: soma de soluções é solução).
Aplicando aqui:
y(x)=C_{1}e^{0\cdot x}+C_{2}e^{1\cdot x}=C_{1}+C_{2}e^{x},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} (ou complexos, dependendo do contexto).

Passo 4

Vamos explicar por que essa forma funciona: a equação é linear e homogênea, então qualquer combinação linear de soluções individuais também é solução. As funções e^{0x}=1 e e^{x} são soluções individuais porque substituindo cada uma na equação diferencial a igualdade é satisfeita (veremos isso no próximo passo). Assim C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot e^{x} é a solução geral.

Passo 5

Verificação direta (só para ficar seguro): tome y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}.
  • \;y'(x)=0 + C_{2}e^{x}=C_{2}e^{x}.
  • \;y''(x)=C_{2}e^{x}.
Substituindo em \;y''-y'=0\;:
y''-y' = C_{2}e^{x}-C_{2}e^{x}=0,
logo a identidade é satisfeita para todo x. Portanto y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x} é de fato a solução geral.

Passo 6

(Alternativa didática) Outro caminho: reduzir a ordem. Defina p(x)=y'(x). Então p'(x)=y''(x) e a equação vira
p'-p=0,
uma equação diferencial de primeira ordem. Resolver p'-p=0 por separação ou observação: \frac{dp}{dx}=p implica \frac{dp}{p}=dx, integrando dá \ln|p|=x+K e assim p(x)=A e^{x}. Como p=y', integra-se novamente: y(x)=A e^{x}+B. É a mesma forma que encontramos antes, com A=C_{2} e B=C_{1}.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}

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