43-44 Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
z=f(x / y)

Passo 1

O enunciado diz que
z = fl(tfracxyr),
e pede as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y.
Aqui vamos usar a regra da cadeia, pois z é uma composição de f com a função u(x,y)=x/y.

Passo 2

Defina
u = xy,
de modo que z = f(u).
Pela regra da cadeia para derivadas parciais, temos
partial zpartial x = f'(u),partial upartial x, partial zpartial y = f'(u),partial upartial y

Passo 3

Calcule partial u/partial x. Como
u = xy,
tratando y como constante,
partial upartial x = 1y
Logo
partial zpartial x = f'l(tfracxyr),1y

Passo 4

Calcule partial u/partial y. Como
u = xcdot y^-1,
usando a regra do quociente ou potência,
partial upartial y = xcdot(-1),y^-2 = -xy^2
Portanto
partial zpartial y = f'l(tfracxyr),l(-xy^2r)

Resposta

partial zpartial x = f'l(tfracxyr),1y, partial zpartial y = -,f'l(tfracxyr),xy^2

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