Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A.
f(x, y)=y^3 ; D é limitada por (0,2),(1,1),(3,2)

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=y^3 sobre a região triangular D com vértices em (0,2), (1,1) e (3,2). O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas, e a gente vai precisar achar as equações das retas que formam os lados do triângulo para montar os limites de integração.

Passo 2

Vamos encontrar as equações das arestas do triângulo:
A aresta entre (0,2) e (1,1) tem equação y=-x+2, ou seja x=2-y.
A aresta entre (1,1) e (3,2) tem equação y=tfrac12x+tfrac12, ou seja x=2y-1.
A aresta entre (0,2) e (3,2) é a reta horizontal y=2.
Com isso vemos que y varia de 1 a 2 e, para cada y, x vai de 2-y até 2y-1.

Passo 3

Montamos a integral com ordem dx,dy:
integral duplaD y^3,dA = integraly=1^2integralx=2-y^2y-1y^3,dx,dy
Primeiro integramos em x:
integral2-y^2y-1y^3,dx = y^3l[(2y-1)-(2-y)r] = y^3(3y-3)

Passo 4

Agora fazemos a integral em y:
integral1^2 y^3(3y-3),dy = 3integral1^2(y^4 - y^3),dy = 3l[tfracy^55 - tfracy^44r]1^2 = 3l(tfrac125 + tfrac120r) = tfrac14720

Resposta

tfrac14720

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