Utilize a regra da cadeira para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.
z=sen alpha, alpha=3 s+t, beta=s-t

Passo 1

O enunciado pede para usar a regra da cadeira (chain rule) em
z = sen alpha, com
alpha = 3s + t e beta = s - t.
Aqui vemos que z depende de (s,t) apenas via alpha e beta, mas de fato z=f(alpha,beta)=senalpha não depende de beta.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z em relação a alpha e beta:
partial zpartial alpha =ddalphal(senalphar) =cosalpha,
partial zpartial beta =0
pois senalpha não envolve beta.

Passo 3

Calcular as derivadas de alpha e beta em relação a s e t:
partial alphapartial s=3, partial alphapartial t=1,
partial betapartial s=1, partial betapartial t=-1

Passo 4

Aplicar a regra da cadeira para dfracpartial zpartial s:
partial zpartial s =partial zpartial alpha,partial alphapartial s +partial zpartial beta,partial betapartial s =cosalphacdot 3 + 0cdot 1 =3cosalpha

Passo 5

Aplicar a regra da cadeira para dfracpartial zpartial t:
partial zpartial t =partial zpartial alpha,partial alphapartial t +partial zpartial beta,partial betapartial t =cosalphacdot 1 + 0cdot(-1) =cosalpha

Resposta

partial zpartial s=3cos(3s+t), partial zpartial t=cos(3s+t)

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