Demonstre que se
& p(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0, e & q(x)=bm x^m+bm-1 x^m-1+cdots+b1 x+b0,
sendo a0, ldots, an, b0, ldots, bn números reais com an neq 0 e bm neq 0, então
lim x pm infty p(x)=lim x pm infty an x^n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para o polinômio
p(x)=anx^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0,
com anneq0, vale
limxtopminftyp(x) = limxtopminftyanx^n
O conteúdo é o comportamento assintótico de polinômios em pminfty. Vamos usar factorização por x^n e propriedades de limites.

Passo 2

Escrevemos
p(x) = x^nl(an+an-1x^-1+cdots+a1x^-(n-1)+a0x^-nr)
Cada termo akx^-(n-k) satisfaz
limxtopminftyakx^-(n-k)=0,
pois n-k>=1. Logo, o fator entre parênteses tende a an:
limxtopminftyl(an+an-1x^-1+cdots+a0x^-nr)=an

Passo 3

Pela regra do produto de limites, desde que limxtopminftyx^n exista (finito ou infinito), temos
limxtopminftyp(x) = l(limxtopminftyx^nr) cdot l(limxtopminfty(an+cdots+a0x^-n)r) = l(limxtopminftyx^nr),an
Mas isso é exatamente limxtopminftyanx^n.

Passo 4

Concluímos, portanto, que
limxtopminftyp(x) =limxtopminftyanx^n,
isto é, o termo de maior grau domina o comportamento do polinômio em pminfty.

Resposta

boxedlimxtopminftyp(x)=limxtopminftyanx^n

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