9.43 Um ciclo ideal de ar-padrão frio Brayton opera em regime permanente com condições na entrada do compressor de 300 K e 100 kPa , temperatura fixa na entrada da turbina de 1700 K , e k=1,4. Para o ciclo,
(a) determine a potência líquida desenvolvida por unidade de massa em escoamento, em kJ/kg, para uma relação de pressão no compressor de 8. (b) esboce graficamente a potência líquida desenvolvida por unidade de massa em escoamento, em kJ/kg, e a eficiência térmica, cada um versus
Resp.: W_{c}=556,3 \frac{K j}{k g} ; \eta_{t}=41,64 \%

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (pego do enunciado):
  • Temperatura na entrada do compressor: T_1 = 300\\ \text{K}.
  • Pressão na entrada do compressor: P_1 = 100\\ \text{kPa} (valor usado apenas para definir a razão de pressão).
  • Temperatura na entrada da turbina: T_3 = 1700\\ \text{K}.
  • Razão de calor específico: k = 1{,}4.
  • Razão de pressão no compressor (razão pressão ciclo): \pi_c = \dfrac{P_2}{P_1} = 8.
O enunciado pede:
(a) determinar a potência líquida desenvolvida por unidade de massa em escoamento (ou seja, o trabalho líquido específico) em \mathrm{kJ/kg} para \pi_c = 8;
(b) esboçar graficamente (descrever a forma/variação) a potência líquida por unidade de massa e a eficiência térmica, cada uma em função da razão de pressão \pi_c.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática).
  • Para o ciclo de Brayton ideal com ar tratado como gás perfeito de calor específico constante e compressão/expansão isentrópicas, valem as relações isentrópicas entre temperaturas e pressão:
T_2 = T_1\,\pi_c^{(k-1)/k},\qquad T_4 = T_3\,\pi_c^{-(k-1)/k}.
Aqui T_1 é a temperatura antes do compressor, T_2 depois do compressor (estado comprimido), T_3 antes da turbina (após aquecimento) e T_4 depois da turbina. A razão (k-1)/k aparece da relação T_2/T_1=(P_2/P_1)^{(k-1)/k} válida para compressão/expansão isentrópica de gás perfeito.
  • Trabalho específico (por unidade de massa) em processos isentrópicos com c_p constante:
w_{c} = c_p\,(T_2-T_1)\quad\text{(trabalho do compressor, entrada de trabalho)}
w_{t} = c_p\,(T_3-T_4)\quad\text{(trabalho da turbina, saída de trabalho)}í
Trabalho líquido específico:
w_{\text{líquido}} = w_{t} - w_{c}.í
  • Calor específico a pressão constante c_p para o ar pode ser obtido a partir de k e da constante dos gases R por:
c_p = \frac{kR}{k-1}.
Para o ar, R \approx 0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Vou calcular c_p explicitamente para não deixar dúvida.
  • Eficiência térmica do ciclo Brayton ideal (com hipóteses acima) resulta numa expressão que depende somente da razão de pressão:
\eta_{\text{th}} = 1 - \pi_c^{-(k-1)/k}.
Vou mostrar rapidamente como essa forma surge (passo posterior), mas a ideia prática é que, para o ciclo ideal com Cp constante e processos isentrópicos, a eficiência depende apenas de \pi_c e k.

Passo 3

Calculemos o expoente útil (k-1)/k.
\text{Defina } a = \frac{k-1}{k} = \frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=\frac{2}{7}\approx 0{,}285714\ldots
Vou usar a=\dfrac{2}{7} nas contas.

Passo 4

Calcular c_p do ar a partir de k e R.
c_p = \frac{kR}{k-1} = \frac{1{,}4\cdot 0{,}287}{0{,}4} = \frac{0{,}4018}{0{,}4} = 1{,}0045\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Observação rápida: esse valor é o valor teórico obtido das constantes; frequentemente em problemas práticos usa-se c_p\approx1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Aqui vou manter c_p=1{,}0045\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (mais consistente com os dados).

Passo 5

Calcular T_2 (após o compressor) usando a relação isentrópica.
T_2 = T_1\,\pi_c^{a} = 300\cdot 8^{2/7}.
Calculando 8^{2/7}: 8^{2/7}\approx 1{,}8114477089. Logo
T_2 \approx 300\cdot 1{,}8114477089 = 543{,}434\\ \text{K}.

Passo 6

Calcular T_4 (após a turbina) usando a relação isentrópica de expansão.
T_4 = T_3\,\pi_c^{-a} = 1700\cdot 8^{-2/7}.
Como 8^{-2/7}=1/8^{2/7}\approx 0{,}5522847498, temos
T_4 \approx 1700\cdot 0{,}5522847498 = 938{,}884\\ \text{K}.

Passo 7

Calcular os trabalhos específicos (turbina, compressor) e o trabalho líquido.
Compressor:
w_c = c_p\,(T_2 - T_1) = 1{,}0045\,(543{,}434 - 300) = 1{,}0045\cdot 243{,}434 \approx 244{,}530\\ \mathrm{kJ/kg}.
Turbina:
w_t = c_p\,(T_3 - T_4) = 1{,}0045\,(1700 - 938{,}884) = 1{,}0045\cdot 761{,}116 \approx 764{,}541\\ \mathrm{kJ/kg}.
Trabalho líquido específico:
w_{\text{líquido}} = w_t - w_c \approx 764{,}541 - 244{,}530 \approx 520{,}011\\ \mathrm{kJ/kg}.í
Arredondando com sensibilidade realista (duas ou três casas significativas), podemos apresentar
w_{\text{líquido}} \approx 520{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.í

Passo 8

Calcular a eficiência térmica do ciclo pelo resultado clássico.
A eficiência térmica do Brayton ideal (com c_p constante e processos isentrópicos) pode ser escrita como
\eta_{\text{th}} = 1 - \pi_c^{-a}.
Motivo rápido (resumido): substituindo T_2=T_1\pi_c^{a} e T_4=T_3\pi_c^{-a} na expressão \eta=(w_t-w_c)/q_{in} e reorganizando aparece a fatorização que leva a 1-\pi_c^{-a} (detalhe algébrico: multiplica-se numerador e denominador por \pi_c^{a} e fatoriza-se \pi_c^{a}-1).
Então
\eta_{\text{th}} = 1 - 8^{-2/7} = 1 - 0{,}5522847498 \approx 0{,}44771525.
Em porcentagem:
\eta_{\text{th}} \approx 44{,}77\%.

Passo 9

Comentário sobre os esboços pedidos no item (b) — comportamento das curvas em função da razão de pressão \pi_c.
  • Eficiência térmica \eta_{\text{th}} versus \pi_c: a curva é monótona crescente. Para \pi_c=1 tem \eta=0. À medida que \pi_c aumenta, \eta aumenta e tende assintoticamente a 1 (ou 100\%) quando \pi_c\to\infty. Portanto no gráfico \eta_{\text{th}}(\pi_c) tem forma de curva crescente com saturação (curva em forma de decaimento de complemento).
  • Trabalho líquido específico w_{\text{líquido}}í versus \pi_c: essa curva NÃO é monotônica em geral. Para \pi_c pequeno o aumento de \pi_c aumenta o trabalho líquido porque a turbina “ganha” mais do que o compressor “consome”. Porém, após certo valor ótimo de \pi_c o trabalho do compressor cresce mais rápido que o ganho na turbina (para T_3 fixo), de modo que o trabalho líquido começa a diminuir. Logo, w_{\text{líquido}}(\pi_c)í cresce até um máximo em uma \pi_c ótima e depois decresce. Assim o esboço deve mostrar uma curva com um pico.
  • Valor típico da razão de pressão ótima: pode-se derivar analiticamente o \pi_c que maximiza w_{\text{líquido}}í. Sem entrar em muito detalhe, para os dados deste problema obtém-se aproximadamente \pi_{c,\text{ót}} \approx 20{,}8ó e o valor máximo de w_{\text{líquido}}í fica perto de 575\\ \mathrm{kJ/kg}. Isso indica que para nosso caso \pi_c=8 está antes do pico (logo aumentar \pi_c até cerca de 20 aumentaria o trabalho líquido), enquanto a eficiência continua aumentando com a razão de pressão.

Resposta

w_{\text{líquido}} \approx 520{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}í
\eta_{\text{th}} \approx 44{,}77\%

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