Questão 5. ( 20 pontos) Considere o sistema de equacões diferenciais.
(a) (5 pontos) Encontre todos os equilíbrios do sistema (3) e explique porque não podem ser analisados pelo Teorema da Linearização (Teorema de Hartman).
(b) (5 pontos) Verifique que as seguintes expressões são soluções de (3) com condição inicial
e
.
(c) (10 pontos) Encontre uma quantidade conservada
para esse sistema e a use para determinar como é o seu retrato de fase.
(b) (5 pontos) Verifique que as seguintes expressões são soluções de (3) com condição inicial
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
- O sistema dado é
-
Perguntas:
(a) Encontrar todos os equilíbrios do sistema e explicar por que o Teorema da Linearização (Teorema de Hartman) não pode ser usado para analisá-los.
(b) Verificar quesatisfazem o sistema com, .
(c) Encontrar uma quantidade conservada(uma primeira integral) e usá-la para descrever o retrato de fase do sistema. -
Informações relevantes do enunciado:
- Sistema autônomo de duas equações ordinárias.
- Condições iniciais gerais
, . - Não há imagem adicional.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Encontrar os equilíbrios: pontos
tais que
e
.
- Da segunda equação
, a condição implica
- Substituindo em
obtemos para qualquer . Portanto qualquer ponto com é equilíbrio.
Conclusão: o conjunto de equilíbrios é a reta
Passo 3
Calcular a matriz Jacobiana e avaliar nos equilíbrios para verificar a hipótese do Teorema de Hartman.
- A Jacobiana
do campo é obtida derivando componente a componente:
- Avaliando num ponto de equilíbrio
(ou seja, ):
Passo 4
Encontrar os autovalores da matriz linearizada e explicar por que Hartman não vale.
- A matriz
é triangular, portanto seus autovalores são as entradas da diagonal:
- O Teorema de Hartman (linearização) exige que todos os autovalores da linearização no equilíbrio tenham parte real diferente de zero (equilíbrio hiperbólico). Aqui sempre aparece um autovalor
(autovalor nulo), ou seja, cada ponto da reta de equilíbrios é não-hiperbólico. - Conclusão: o Teorema da Linearização não se aplica porque os equilíbrios não são hiperbólicos (há sempre um autovalor com parte real igual a zero). Portanto a análise local não pode ser simplesmente feita pela linearização; precisamos de métodos não lineares ou integrar explicitamente.
Passo 5
Verificar a solução proposta: verificar primeiro
.
- Derivando
:
- Isso coincide com a equação
. A condição inicial é evidente:
- Portanto
satisfaz a segunda equação e a condição inicial.
Passo 6
Verificar a expressão para
:
- Para distinguir, defina o expoente
- Então
. Derivando,
- Agora calcule
:
- Logo
- Mas
, portanto
que é exatamente a primeira equação do sistema. Verificação da condição inicial:
- Conclusão: a fórmula dada para
e satisfaz o sistema e as condições iniciais.
Passo 7
Buscar uma quantidade conservada
(primeira integral). Método: eliminar o parâmetro
e achar relação entre
e
que se conserva.
- Quando
pode-se formar a razão
- Esta é uma equação diferencial ordinária em
como função de :
- Separando variáveis (ou reconhecendo equação linear de coeficiente constante):
- Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração ao longo de uma trajetória.
- Rearranjando:
- Portanto uma primeira integral (quantidade conservada) é
- Observação sobre domínio:
está bem definido para . O caso é uma solução invariantes à parte (se então ); as trajetórias com permanecem com do mesmo sinal e obedecem ao nível de .
Passo 8
Interpretar as curvas de nível
e relacionar com as soluções explícitas.
- Escrevendo a constante
explicitamente:
- Assim as curvas integrais no plano
são descritas por ramos da função logarítmica traduzida verticalmente. Para temos a curva ; para existe o ramo com . - Verificação com a solução explícita: calcule
usando as fórmulas dadas.
constante no tempo, de fato.
Passo 9
Descrever o retrato de fase usando
e comportamento temporal.
- Trajetórias (soluções no espaço de fases) são exatamente as curvas de nível
- Direção do movimento ao longo dessas curvas: como
, o componente decresce exponencialmente para quando . Portanto, ao incrementar , as trajetórias movem-se no sentido de decrescente, aproximando-se da reta de equilíbrios . - Limite temporal: a solução explícita mostra
Assim cada trajetória tende, quando
, para o ponto de equilíbrio
pertencente à reta de equilíbrios. O ponto de equilíbrio alcançado depende da condição inicial
.
- Propiedades adicionais:
- O sinal de
é preservado ao longo da trajetória (pela forma explícita ), então as curvas para e são separadas. - A linha
é invariante: se então e ; esses pontos vão para .
- O sinal de
- Classificação dos equilíbrios: cada ponto
é estável no sentido de Lyapunov mas não assimptoticamente estável (não atrai uma vizinhança inteira para si), porque pequenas perturbações em deslocam o ponto-limite ao longo da reta . Em outras palavras, as trajetórias próximas permanecem próximas à reta de equilíbrios e tendem para algum ponto da reta, mas não necessariamente para o mesmo ponto de equilíbrio inicial (salvo se a perturbação for exatamente tangente à curva de nível que passa por ele).
Passo 10
Resumo geométrico prático para desenhar o retrato de fase (o que desenhar na prova).
- Desenhar a reta de equilíbrios
. - Desenhar famílias de curvas
(vários valores de ), separadas em ramos e . - Indicar setas ao longo dessas curvas apontando para baixo em
(isto é, a direção do tempo negativo para positivo leva para ). As setas apontam para a reta , terminando no ponto determinado pela constante de nível. - Indicar que
é invariável e que pertence à reta de equilíbrios. - Notar que não há órbitas fechadas: todas as trajetórias (com
) vão de infinito em quando para um ponto na reta quando .
Resposta
(a) O conjunto de equilíbrios é
. O Teorema da Linearização (Hartman) não se aplica porque a linearização em qualquer
tem autovalores
e
, isto é, há sempre um autovalor com parte real zero (não-hiperbólico).\n
(b) Sim: satisfaz
e
. Para
tem-se
e
, logo ambas são soluções com as condições iniciais dadas.\n
(c) Uma primeira integral é (definida para
). As curvas de nível
são
(ramos da função logarítmica translados verticalmente) e são as trajetórias do sistema. Cada solução tende, quando
, para um ponto da reta de equilíbrios
; mais precisamente
e
. As trajetórias não cruzam a reta
(o sinal de
é preservado). Os equilíbrios
são estáveis (no sentido de Lyapunov) mas não são assimptoticamente estáveis: pequenas perturbações levam a convergência para um ponto diferente na reta
.
(b) Sim:
(c) Uma primeira integral é